Задачи для самостоятельного решения

 

1. Не раскрывая определителей, доказать справедливость равенств:

1.1.

1.2.

 

1 Вычислите определитель

1.3. 1.4

2. Вычислить определители, используя свойство разложения по строке (столбцу):

2.1. 2.2.

 

2.3. 2.4.

3. Вычислите определитель различными способами

 

3. Используя свойства определителей, решить уравнения и неравенство:

3.1. 3.2.

 

3.3.

Пример. Вычислить определитель

Прежде чем вычислять определитель упростим первый столбец: из первой строки вычтем, а ко второй прибавим удвоенную третью. Полученный определитель разложим по первому столбцу:

Кроме данного способа определитель п-го порядка можно вычислить методом приведения к треугольному виду, то есть с помощью преобразований определителя, когда все его элементы, лежащие по одну сторону от главной диагонали становятся равными нулю. Под преобразованиями определителя понимаются действия умножения строк (столбцов) на число и сложения с другими строками (столбцами).

Пример. Вычислить определитель

Умножим первую строку на (-1) и сложим со второй, третьей и четвертой:

Обратная матрица.

Квадратная матрица А-1называется обратной для квадратной матрицы А, если А-1·А=А·А-1=Е

Матрица А называется невырожденной (неособенной, обратимой), если для нее существует А-1. Матрица А невырождена тогда и только тогда, когда ∆А ≠ 0

Матрица

называется союзной или присоединенной к матрице

Здесь Аij - алгебраические дополнения к элементам аij матрицы А.

Лемма. Если А - квадратная матрица порядка п, а С - союзная с ней , то A·C=C·A=E·detA.

Теорема 1. Для того, чтобы существовала матрица В, обратная к матрице А, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной.

Доказательство: Необходимость: пусть существует матрица, обратная к А, тогда А·В=Е и det(A·B)=detA·detB, то есть detA·detB=detE=1. Отсюда следует, что detA ≠ 0, а это и значит, что матрица А невырожденная.

Достаточность: Пусть матрица А невырожденная. Рассмотрим матрицу , где С - союзная матрица к А. Согласно лемме A·C=E·detA, разделим это равенство на detA: .Аналогично из C·A =E·detA, получаем или , тогда по определению обратной матрицы матрица является обратной к матрице А.

Теорема 2. Для невырожденной матрицы существует единственная обратная матрица.

Доказательство. Предположим, что для невырожденной матрицы А матрицы и - обратные. Тогда имеет место равенство . Умножим обе части этого равенства слева на : или, учитывая, что . Теорема доказана.

Алгоритм вычисления А,обратной для матрицы А(пхи) :

 

1. Вычислить ∆А (если ∆А ≠ 0, то А-1 существует).

2. Вычислить алгебраические дополнения А ij для всех элементов aij матрицы А сформировать матрицу алгебраических дополнений

3. Транспонировать и сформировать союзную (присоединенную) матрицу

4. Вычислить А-1

.

 

Свойства обратной матрицы:

1) (А · В) -1 = В-1 ·А-1, если существуют А-1 и В-1

2) (A -1)-1= А.

3) (A Т)-1=(A -1)Т.

4) Е -1 = Е.

5)

6) Если

 

Примеры:

1. Найти обратную матрицу А-1, для

Решение

Найдем определитель матрицы А, det А = -4 ≠ 0.=> A-1 существует

Найдем алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы А

Запишем присоединенную матрицу:

Вычислим А-1:

Пример 3.

Найти матрицу X из уравнения:

Решение: обозначим .

Найдем , следовательно матрица А невырожденная. Заданное уравнение имеет вид А·X=В, умножим обе его части слева на А-1, получим: А-1·А ·X=А-1·В, так как А-1·А=Е , то X=А-1·В , таким образом для решения задачи необходимо найти матрицу А-1 и умножить ее на матрицу В.

Пример 4.

Дано матричное уравнение А·Х-2В=С. Найти матрицу X, если известны матрицы .

Решение: Выразим матрицу X из уравнения А·Х+С+2В, А-1·А·Х+А-1·(С+2В), так как А-1·А=Е, то Х= А-1·(С+2В).

Найдем С + 2В: .

Вычислим , следовательно обратная матрица А-1 существует, а именно

Итак, найдем матрицу