Основна властивість дробу. Скорочення дробів і зведення дробів до спільного знаменника
Додатні дробові числа. Порівняння невід’ємних раціональних чисел.
Означення: Розглянемо усі можливі пари для яких ділення т на п націло неможливе. Кожній парі таких чисел, взятих у певному порядку, поставимо у відповідність новий математичний об’єкт і позначимо його т/п.
Оскільки усі невід’ємні цілі числа можна подати у вигляді символу т/п, то це дає підстави розглядати 0, і додатні дробові числа як єдину сукупність чисел.
Означення: Об’єднання множини усіх невід’ємних цілих чисел з множиною усіх додатних дробових чисел назвемо множиною невід’ємних раціональних чисел.
Отже, будь-яке невід’ємне раціональне число можна зобразити символом т/п, його називають невід’ємним дробом, звичайним дробом.
Означення:(бути рівним) Дроби називаються рівними, якщо виконується рівність
на множині невід’ємних цілих чисел.
Властивості:
Відношення "буди рівним" володіє властивостями рефлексивності, симетричності, транзитивності.
Доведемо властивість транзитивності.
Якщо дріб дорівнює дробу
, а дріб
дорівнює дробу
, де
натуральні або
, то
дорівнює дробу
.
Доведення: за означенням . Помножимо першу рівність на
, а другу на п.
. за властивістю транзитивності на множині невід’ємних цілих чисел матимемо
. Оскільки
, то поділимо на
і отримаємо
.За означенням
=
.
Означення:Кажуть, що число більше числа
, а число
менше числа
, якщо виконується така нерівність
, при цьому кажуть. Що числа між собою нерівні
, а число
.
Властивості:Відношення "бути більшим", "бути меншим" володіють властивістю транзитивності.
Доводиться аналогічно попередній властивості.
Т:Додатні дробові числа більші 0.
Доведення: Нехай маємо дріб і число 0. Позначимо
= а. Розглянемо добуток па
, як добуток додатних цілих чисел. Число 0 =
, 0п = 0. тп
, як добуток додатних цілих чисел. тп
п, поділимо на п2
. За означенням
.
Основна властивість дробу. Скорочення дробів і зведення дробів до спільного знаменника.
Т: (основна властивість дробу) Значення дробу не зміниться, якщо його чисельник і знаменник помножити на одне і теж натуральне число =
,
.
Доведення:
За асоціативним та комутативним законами множення на множині невід’ємних цілих чисел . За означенням "бути рівним"
= =
.
Т: Значення дробу не зміниться, якщо його чисельник і знаменник поділити на одне і теж натуральне число. Яке є їх спільним множником.
Означення: Скороченням дробу називається заміна дробу рівним йому дробом, у якого чисельник і знаменник не мають спільних множників.
Означення: Дріб у якого чисельник і знаменник взаємно прості числа називається нескоротним дробом.
Т: Якщо даний дріб дорівнює деякому нескоротному дробу, о члени даного дробу дорівнюють відповідно членам даного нескоротного дробу помноженим на одне і теж число.
Доведення:
Нехай =
,
. З рівності дробів маємо
. За теоремою про подільність добутку маємо
. Отже,
, але
. Тому
. Тоді
. Звідси
. Маємо, поділивши на
,
. Отже,
,
, що і потрібно було довести.
Наслідок: Два нескоротні дроби рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх чисельники і знаменники.
Доведення:
Необхідність.
=
,
,
. Оскільки
рівний нескоротному дробу, то за попередньою теоремою
,
, тоді
. Але
. Отже, к = 1, тому
,
.
Достатність.
,
,
,
. Складемо дроби
і
. Розглянемо відповідні добутки
. Відомо, що
, за означенням рівних дробів
=
. Враховуючи те, що
,
, матимемо
=
.
Т: Будь-який дріб дорівнює одному і тільки одному нескоротному дробу.
Доведення:
=
,.
. Припустимо, що існує
=
,
. Тоді
= =
. Оскільки обидва дроби нескоротні, то за попереднім наслідком
.
Властивості (про зміну дробу в залежності від зміни його членів).
Т1: З двох дробів з однаковими знаменниками більший той у якого чисельник більший.
Доведення: і
.Нехай
. Тоді на множині невід’ємних цілих чисел за монотонністю множення
. Тоді за означенням "бути більшим" додатних раціональних чисел матимемо
.
Т2: З двох дробів з однаковими чисельниками більший той у якого знаменник менший.
Доведення: і
,
. За законом монотонності
. Якщо т = 0, то
.або
. За означенням "бути меншим" на множині дробових раціональних чисел
.
Означення: Дріб у якого чисельник менший знаменника називається правильним. В інших випадках дріб є неправильним.
Т: При збільшенні чисельника і знаменника на одне і теж число, дріб збільшиться, якщо він правильний, зменшиться, якщо він неправильний але нерівний одиниці і не зміниться, якщо він рівний одиниці.
Доведення: Доведемо другу частину. Нехай – неправильний дріб. Тоді
. Потрібно довести, що
або
.
Перейдемо до дробів з однаковими знаменниками за основною властивістю дробів.
і
. Порівняємо
і
. Скористаємося дистрибутивним законом і порівняємо
і
. Перші доданки однакові, порівняємо другі доданки
і
. За законом монотонності перейдемо до порівняння т і п. За умовою
. Отже,
.