Електричний струм. Густина електричного струму

Як було показано в попередньому розділі, в провідному тілі, що розміщене в електростатичному полі, під дією сил поля вільні заряди переміщуються до тих пір, поки створене електричне поле всередині провідника не компенсує зовнішнє поле. Після цього рух вільних зарядів відсутній і поле всередині провідника відсутнє. Потенціали всіх точок провідного тіла однакові.

Якщо між двома частинами провідника якимись способом створити і постійно підтримувати різницю потенціалів, то між цими частинами буде неперервний рух зарядів.

Упорядкований рух електричних зарядів називають електричним струмом.

Природа носіїв заряду може бути різною. В провідному середовищі такими носіями можуть бути вільні електрони (тверді провідні тіла) або іони речовини (позитивно або від’ємно заряджені молекули, або атоми в різних розчинах) і в таких випадках ведуть мову про струм провідності. Коли електричні заряди переносяться зарядженими частинками, що рухаються у вільному просторі (потік електронів у вакуумі), то таке переміщення зарядів називають струмом переносу.

Рух зарядів може відбуватися і в діелектрику. Якщо діелектрик розмістити в змінному електричному полі, тобто полі, яке змінюється в часі, то в діелектрику змінюється напрямок поляризації і виникає струм, який називають струмом зміщення.

В цьому розділі розглядається тільки поле постійного струму провідності.

Наявність будь-якого виду струму можна виявити за такими явищами:

- теплова дія струму (провідники, по яких протікає струм, нагріваються);

- магнітна дія (струм, який протікає, викликає появу магнітного поля);

- хімічна дія (в процесі проходження електричного струму через деякі розчини відбувається їхнє розкладання на складові частини).

Електричний струм є величиною скалярною, але в залежності від напрямку вектора напруженості електричного поля заряджені частинки можуть переміщуватись в різних напрямках.

Прийнято вважати позитивним напрямком струму напрямок руху його позитивно заряджених частинок. Для кількісної оцінки струму вводять поняття величини або сили струму.

Величиною струму (силою струму) називають кількість зарядів, які проходять через поперечний переріз провідника за одиницю часу, тобто

. (3.1)

Одиницею вимірювання електричного струму є ампер [А].

Струм, значення і напрямок якого не змінюється в часі, називається постійним і частіше всього позначається великою літерою . Постійний струм, що протікає через різні перерізи одного провідника, має одне і теж саме значення, тому що в противному випадку в окремих місцях провідника мало би місце неперервне зростання накопичення зарядів і зростання потенціалу в цих місцях до нескінченності, що явно неможливо.

Під час протікання будь-яких струмів, в тому числі і постійних, виникає магнітне поле, але в зв’язку з тим що ці поля також незмінні в часі, то вони ніяк не впливають на електричне поле і тому можна вивчати рух зарядів в провіднику не враховуючи дії магнітних полів.

Електричний струм є інтегральною характеристикою руху зарядів, який характеризує цей рух по всій площі поперечного перерізу провідника. В деяких випадках заряджені частинки переміщуються нерівномірно по перерізу провідника і тому зручніше користуватися поняттям густина струму, яке характеризує рух зарядів через нескінченно малу площинку перерізу провідника.

Густина струму є відношення величини струму ( ), який протікає через елементарну поверхню ( ), що перпендикулярно направлена рухові зарядів, до величини цієї поверхні

. (3.2)

Густина струму – величина векторна, що збігається за напрямком з напрямом руху позитивних зарядів. Одиницею вимірювання густини струму є ампер на квадратний метр . Густина струму є диференційною характеристикою упорядкованого руху зарядів.

Якщо вектор складає з нормаллю до поверхні кут (рис. 3.1), то електричний струм через елементарну поверхню визначається

Рисунок 3.1 Струм, який протікає через всю поверхню кінцевих розмірів , дорівнює

. (3.3)

Іншими словами, електричний струм можна розглядати як потік вектора густини струму через деяку поверхню.

3.2 Закон Ома в диференціальній формі

Встановимо зв’язок між густиною струму і напруженістю поля , під дією якої рухаються заряджені частинки.

Для досягнення цієї мети виділимо в провіднику невеликий паралелепіпед об’ємом (рис.3.2). Довжина ребра паралелепіпеда , площа поперечного перерізу . Розташуємо цей об’єм так, щоб напруженість в ньому була направлена паралельно ребру .

Напрямок вектора густини струму збігається з напрямком вектора напруженості, і відповідно, нормально до поперечного перерізу. В зв’язку з тим, що

Рисунок 3.2об’єм малий, можна вважати, що для всього елементарного об’єму напруженість і густина струму мають одне і те ж саме значення.

Струм, який проходить крізь поверхню , визначається

Оскільки розглядається постійний струм, то для його позначення використана велика літера .

Напруга між кінцями паралелепіпеда дорівнює

Постійна напруга і струм, як відомо, визначаються за законом Ома

де – опір паралелепіпеда електричному струму, – провідність середовища, одиниця вимірювання сіменс на метр .

Підставимо значення в (3.1) і отримаємо

звідки

У векторній формі

. (3.5)

Співвідношення (3.5) називають диференціальною формою закону Ома.

На відмінну від електростатичного поля потенціали точок в провідному середовищі при проходженні через нього електричного струму не дорівнюють один одному (наприклад, точки 1 і 2 на рис.3.3), тому на поверхні провідника, по якій протікає струм, напруженість поля не перпендикулярна до цієї поверхні.

Рисунок 3.3

Вона має як нормальну складову , так і дотичну , під дією якої і переміщуються заряди (рис.3.3). Для розв’яування практичних задач, які пов’язані з визначенням параметрів поля зовні провідників, величиною нехтують, тому що вона в багато разів менша нормальної складової .

3.3 Напруженість сторонніх сил. Електрорушійна сила

Як було показано раніше, для тривалого протікання струму в провіднику необхідно на його кінцях підтримувати постійно різницю потенціалів. Розглянемо процеси протікання струму у провіднику, кінці якого закінчуються електродами і (рис.3.4).

Рисунок 3.4

З даного рисунку видно, що протікання струму від електрода до електрода зумовлене постійним переміщенням по провіднику позитивних зарядів від до . При цьому по всій довжині провідника, при наявності зарядів на електродах, існує електричне поле, напруженість якого називають електростатичною напруженістю і позначають . Електростатична напруженість має місце і між електродами і , яка направлена від позитивно зарядженого електрода до негативно зарядженого (рис.3.4).

Для тривалого протікання електричного струму необхідно постійно переміщувати позитивні заряди від електрода до електрода проти сил електростатичного поля. Таке переміщення може здійснювати тільки зовнішні (сторонні) сили, що створюють поле з напруженістю сторонніх сил , яка має бути більшою за величиною ніж , і направлена від електрода до електрода . Ці зовнішні сили повинні також компенсувати витрати енергії, що виникають під час протікання струму через провідник.

Такими сторонніми силами можуть бути джерела енергії, які перетворюють різні види енергії (механічну, хімічну, теплову та ін.) в електричну.

Відмітимо, що рух зарядів (електричний струм) відбувається як в провіднику (від до ), так і всередині джерела (від до ), що характеризує неперервність електричного струму.

В джерелі електричної енергії існує електричне поле з результуючою напруженістю

. (3.6)

Лінійний інтеграл від сторонньої напруженості поля, взятий всередині джерела (від до ), називається електрорушійною силою (е.р.с) джерела

. (3.7)

Візьмемо лінійний інтеграл від результуючої напруженості поля вздовж замкненого контуру

В зв’язку з тим, що стороння напруга діє тільки на ділянці , то

Перший інтеграл згідно з (3.7) є електрорушійною силою, а другий інтеграл, як показано в п.1.5, завжди дорівнює нулю, тому

. (3.8)

Вираз (3.8) показує, що електричне поле сторонніх сил не є потенціальним і що умова виконується тільки в області простору за межами джерел енергії.

Лінійний інтеграл напруженості результуючого поля на будь-якій ділянці називається напругою цієї ділянки

. (3.9)

В електростатичному полі лінійний інтеграл від напруженості поля на будь-якій ділянці представляє собою різницю потенціалів початкової і кінцевої точок цієї ділянки

. (3.10)

Встановимо зв’язок між е.р.с, напругою і різницею потенціалів. Візьмемо лінійний інтеграл від результуючої напруженості поля на шляху , що має ділянку зі сторонньою напруженістю

. (3.11)

Врахувавши (3.8), (3.9) і (3.10) запишемо

. (3.12)

Отриманий вираз показує, що в електричному полі в провідному середовищі на ділянках, які мають сторонню напруженість, напруга і різниця потенціалів не дорівнюють одна одній.

Напруга в (3.12) представляє собою спад напруги на внутрішньому опорі джерела ( ), тобто

Неважко побачити, якщо коло (рис.3.4) розімкнути, то струм в ньому протікати не буде, відповідно не буде переміщення зарядів, напруженості між електродами, стороння і статична, будуть рівні за величиною і протилежні за напрямком, тобто

(3.12)

і, як видно з (3.11) і (3.12) , а

На ділянці кола стороння напруженість відсутня і для замкненого кола

3.4 Закони Кірхгофа в диференціальній формі

Визначимо потік вектора густини струму (електричний струм ) через замкнену поверхню , яка включає в себе декілька відгалужень зі струмами, які сходяться в одному вузлі (рис.3.5).

Рисунок 3.5

Як показано раніше, в будь-якому місці кола не можуть постійно накопичуватися заряди при протіканні струму, тому сума вхідних струмів ( ) в об’ємі, що обмежений поверхнею , повинна дорівнювати сумі вихідних струмів із даного об’єму ( ).

Розіб’ємо всю замкнену поверхню на поверхню , що не включає в себе поперечний переріз провідників, і на поверхні, які представляють собою поперечний переріз провідників

тоді

де – густина струму у відповідних перерізах.

В зв’язку з тим, що ( – поверхня, що не включає провідники), а

то

Знак мінус біля струмів і поставлено тому, що усі вектори направлені із об’єму (позитивний напрямок), а вектори густини струмів і направлені в об’єм, що розглядається.

В зв’язку з тим, що сума вхідних і вихідних струмів повинна бути рівною між собою (перший закон Кірхгофа), то

. (3.13)

Отже, інтеграл від густини струму по замкненій поверхні завжди дорівнює нулю. Рівняння (3.13) виражає перший закон Кірхгофа в інтегральній формі.

Якщо до (3.13) застосувати теорему Остроградського-Гаусса (В-27), то

. (3.14)

Останнє співвідношення називають першим законом Кірхгофа в диференціальній формі. Воно показує, що лінії густини постійного струму завжди замкнені, в них немає початку і вони ніколи не закінчуються. Дивергенція густини струму завжди дорівнює нулю, що виражає принцип неперервності електричного струму.

Запишемо диференціальну форму закону Ома (3.5) при наявності сторонньої напруги

або

. (3.15)

Візьмемо лінійний інтеграл від обох частин рівняння (3.15) по замкненому контуру електричного кола

. (3.16)

Перетворимо інтеграл в лівій частині останнього рівняння так. Помножимо і розділимо підінтегральний вираз на площу поперечного перерізу провідника . При постійному струмі густина струму по всьому перерізу постійна і збігається за напрямком з елементом довжини , тому

Якщо в контурі є відгалуження з різними за значенням струмами і опорами, то

де – опір окремих ділянок контуру.

В правій частині рівняння (3.16) другий інтеграл дорівнює нулю (замкнений інтеграл береться від напруженості електростатичного поля), а перший інтеграл представляє собою суму е.р.с. (3.8), що входять в досліджуваний контур. Отже,

, (3.17)

що відповідає рівнянню, яке отримують для другого закону Кірхгофа. Тому рівняння (3.15) називають другим законом Кірхгофа в диференціальній формі.

3.5 Диференціальна форма закону Джоуля-Лєнца

Нехай елементарний заряд , який зосереджено в паралелепіпеді (рис.3.2) рухається під дією сил електричного поля. Сила, яка переміщує заряд, дорівнює . Робота, що витрачається для переміщення заряду на відстань

Якщо заряд проходить відстань за проміжок часу , то потужність

Відношення є струм , що протікає по досліджуваному об’ємі, тому

В зв’язку з тим, що є елементом об’єму, то

Звідси потужність, віднесена до одиниці об’єму (питома потужність)

. (3.18)

Рівняння (3.18) називають законом Джоуля-Лєнца в диференціальній формі.

Потужність, яка поглинається в деякому провіднику з об’ємом

. (3.19)

Визначимо потужність через інтегральні характеристики (струм, напругу). Для паралелепіпеда (рис.3.2) напруга між його кінцями , а струм що в ньому протікає . Замінимо в (3.19) і на струм і напругу

або

Останній вираз можна назвати законом Джоуля-Лєнца в інтегральній формі.

3.6 Електричне поле в провідному середовищі

на межі двох середовищ

На ділянках провідного середовища, де відсутня стороння напруженість, електричне поле потенціальне, тому напруженість поля така ж сама, як і в електростатичному полі і пов’язана з потенціалом таким співвідношенням

Згідно з першим законом Кірхгофа в диференціальній формі (3.14)

У відповідності з законом Ома

В однорідному середовищі , тому

Звідси

або

. (3.20)

Отже, електричне поле в провідному середовищі в областях, які не зайняті джерелами, підпорядковані рівнянню Лапласа. Для однозначного розв’язування цього рівняння необхідно використати граничні умови.

Розглянемо межу двох провідних середовищ, провідності яких дорівнюють і відповідно. Побудуємо циліндричну поверхню на межі розділу середовищ так, як показано на рис.3.6. Через цю замкнену поверхню потік вектора густини струму дорівнює нулю (3.13)

Всю поверхню циліндра розділимо на три частини – бокову поверхню і дві торцеві поверхні і . В цьому випадку

Висоту циліндра спрямуємо до нуля так, щоб площинки практично збігалися з граничною поверхнею. В даному випадку струм через бокову поверхню циліндра стане рівним нулю

Для малих величин площинок можна вважати, що вектор густини струму у всіх точках площинки має одно і те ж саме значення, тому

або

Отже

. (3.21)

Рисунок 3.6

Нормальна складова густини струму на межі двох середовищ неперервна.

Для визначення другої граничної умови виділимо на межі розділу плоский контур у вигляді прямокутника (рис.3.7, а) і візьмемо лінійний інтеграл від напруженості поля по цьому контуру.

Якщо відсутня стороння напруга, то

Сторони прямокутника 1-2 і 3-4 наблизимо до нуля, тоді

або

. (3.22)

Рисунок 3.7

В областях, які вільні від сторонніх джерел, дотичні складових векторів напруженості електричного поля на межі розділу двох провідних середовищ рівні між собою.

Не важко показати, що при переході із середовища з однією провідністю в середовище з іншою провідністю вектори густини струму і напруженості змінюють свою величину і напрямок (заломлюються) (рис.3.7, б).

З (3.21) і (3.22) випливає, що

Врахувавши те, що

отримаємо

. (3.23)

3.7 Аналогія між електричним полем в провідному середовищі

і електростатичним полем

Вище було зазначено, що електростатичні поля в діелектрику і електричні поля постійних струмів в провідному середовищі поза межами джерел енергії є потенціальними. Ця спільна риса має місце і в подібності цілого ряду математичних співвідношень. Порівняльна характеристика математичних співвідношень, що описують електричні і електростатичні поля, наведена в таблиці.

Таблиця

Електричне поле в провідному середовищі поза межами сторонніх джерел	Електростатичне поле в областях не зайнятих зарядами

Порівняння наведених в таблиці співвідношень показує, що система рівнянь електричного поля постійних струмів поза межами дії джерел енергії подібна системі рівнянь електростатичного поля за умови відсутності вільних зарядів. Аналогом вектора густини струму ( ) в електростатичному полі є вектор зміщення ( ), аналогом струму ( ) є заряд ( ). Аналогом провідності середовища ( ) – абсолютна діелектрична проникність ( ). Аналогічні і граничні умови.

Якщо два поля описуються одним і тим же рівнянням і в них тотожно виконуються граничні умови для подібних величин, то при однаковій формі граничних поверхонь на основі теореми єдиності розв’язку можна стверджувати, що сукупність силових і еквіпотенціальних ліній в цих двох полях (картина поля) буде однаковою. Така формальна аналогія двох полів має не тільки теоретичний інтерес, але і велике практичне значення. Наприклад, якщо будь-яке електростатичне поле вже розраховано, то всі відомості про це поле можуть бути перенесені і на геометрично подібне поле в провідному середовищі.

Якщо форма граничних поверхонь складна, то аналітичний розрахунок електростатичного поля часто є дуже трудомісткий. В цьому випадку виконують експериментальне дослідження полів за допомогою моделі, яку реалізовано в провідному середовищі (електролітична ванна, спеціальний папір і ін.).

Аналогія між двома полями часто використовується для визначення провідності між двома електродами.

Якщо напруга між двома електродами і , що розташовані в провідному середовищі, дорівнює і між ними протікає струм , то провідність середовища визначається

В зв’язку з тим, що струм

а напруга

то

. (3.24)

В електростатичному полі з електродами такої ж форми ємність між електродами, якщо на них розташовані однакові за величиною, але протилежні за знаком заряди , визначається

. (3.25)

Інтегрування в (3.25) виконується в тих же границях, що і в (3.24).

Якщо поділити (3.25) на (3.24), то після скорочень отримаємо

. (3.26)

Останнє співвідношення дозволяє за відомою залежністю для ємності між двома будь-якими тілами отримати вираз для провідності або здійснити обернену операцію.

Наприклад, ємність двопровідної лінії (2.33) на одиницю довжини лінії

, (3.27)

де – відстань між осями провідників,

– радіус провідника.

Для того, щоб отримати вираз для визначення провідності між двома провідниками лінії, яка знаходиться в недосконалому діелектрику, що має певну провідність , необхідно згідно з (3.26) зробити заміну в (3.27) на

. (3.28)

Відмітимо, що аналогія розглянутих полів відноситься тільки до форми рівнянь, що описують ці поля. Вона не стосується характеру процесів, які там протікають.

Принципова відмінність цих полів полягає в тому, що вони пов’язані з якісно різними формами руху матерії. Тоді коли вектор електричного зміщення характеризує процеси в полі нерухомих зарядів, його аналог в провідному середовищі – вектор густини струму – є характеристикою руху заряджених частинок речовини. Електричне поле постійних струмів завжди існує разом з магнітним полем і сумісно з ним приймає участь в процесі переносу енергії від джерела до споживача. В самому провідному середовищі енергія електромагнітного поля безперервно перетворюється в теплову енергію. В електростатичному полі енергія накопичується і зберігається.

3.8 Приклади розрахунку електричних полів

в провідному середовищі

Приклад 3.1

В провідному середовищі з провідністю потенціал поля змінюється за таким законом

де і – координати прямокутної системи координат (рис.3.8),

– числові коефіцієнти.

Знайти закономірність зміни густини струму в залежності від координат і визначити силу струму, що протікає через квадратну площину зі стороною , яка розташована паралельно площині і знаходиться на відстані від неї.

Рисунок 3.8

Розв’язування. В областях без сторонньої напруженості . В прямокутній системі координат напруженість поля визначається

і має складові по осі та по осі .

Вектор густини струму

також має складові тільки по осі і по осі .

В зв’язку з тим, що площинка через яку необхідно розрахувати величину струму, що протікає, паралельна площині , то через неї проходить тільки складова вектора густини . Ця складова не залежить ні від координати , ні від координати . Тому вона постійна для усіх точок площинки і її величина визначається при

Значення струму визначається як добуток складової на розмір площадки

Знак мінус показує на те, що струм протікає справа наліво.

Приклад 3.2

В коаксіальному кабелі (рис.3.9) діелектрик між внутрішнім проводом і оболонкою має провідність . Радіус внутрішнього провідника , радіус оболонки . Напруга між провідниками кабеля . Визначити провідність ізоляції кабелю на одиницю його довжини, струм витікання і потужність теплових втрат.

Розв’язування. Приймемо потенціал зовнішньої оболонки рівним нулю, тоді вектор напруженості електричного поля і вектор густини струму направлені по радіусу від внутрішнього провідника до оболонки. Обведемо внутрішній провідник кабелю циліндричною поверхнею радіуса і довжиною .

Рисунок 3.9Струм, що протікає через цю поверхню визначається

В зв’язку з тим, що вектори і збігаються за напрямком і в силу симетрії величина густини струму на поверхні всюди однакова, то можна записати

Звідки

Напруга між провідниками кабелю визначається

Провідність ізоляції всього кабелю становить

Провідність ізоляції одиниці довжини кабелю

Струм витікання на одиницю довжини кабелю

Потужність теплових втрат в ізоляції всього кабелю (3.19)

За елемент об’єму вибираємо величину .

В цьому випадку

Потужність теплових втрат ізоляції в одиниці довжини кабелю

Цю потужність можна знайти для даного випадку і простіше. На постійному струмі

Приклад 3.3

Півсферичний заземлювач радіусом розміщено в землі на рівні з її поверхнею (рис.3.10). Відомий струм , що протікає через заземлювач. Визначити опір заземлення і напругу між точками і на поверхні землі (крокову напругу ). Провідність землі , , .

Рисунок 3.10

Розв’язування. Припустимо, що струм повертається до джерела по землі по другому електроду, який знаходиться достатньо далеко від першого.

Для цього припущення можна вважати, що струм розтікається від заземлювача у всі сторони рівномірно, тому густина струму для всіх точок півсфери радіуса однакова і дорівнює

Напруженість поля в точках цієї півсфери знаходимо за законом Ома в диференціальній формі

Вектори і направлені по радіусу (рис.3.10).

Якщо прийняти потенціал точки, що знаходиться в нескінченості , рівним нулю, то потенціал на поверхні заземлювача визначається

Напруга

називається напругою розтікання.

Опір заземлення становить

Крокова напруга визначається

Підставивши числові значення отримаємо

Приклад 3.4

Провідник, по якому протікає постійний струм , обірвався і упав на землю на дуже велику довжину (рис.3.11).

Визначити крокову напругу, під якою буде знаходитися людина з довжиною кроку , і яка наближається перпендикулярно до провідника. Відстань від провідника до ближньої ноги людини . Провідність землі .

Рисунок 3.11

Розв’язування. Дана задача розв’язується аналогічно попередній. Густина струму в точках півциліндричної поверхні радіуса від осі провідника

Напруженість поля в точках цієї поверхні

Крокова напруга визначається

Підставивши числові значення, отримаємо

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

1. Які з наведених нижче фізичних величин є скалярними, а які – векторними: струм, потенціал, напруженість електричного поля, напруга, градієнт потенціалу, густина струму?

2. Як можна записати закон Ома в диференціальній формі, якщо відома не питома провідність , а питомий опір ?

3. Чому дорівнює дивергенція вектора густини струму всередині провідника зі струмом?

4. Яка особливість електричного поля всередині джерела електричної енергії порівняно з пасивними ділянками електричного кола?

5. Записати другий закон Кірхгофа в диференціальній формі, вважаючи відомим питомий опір , а не питому провідність ?

6. Якою залежністю пов’язані між собою електричний струм і густина струму?

7. Вектор напруженості електростатичного поля перпендикулярний до поверхні провідника. Чи виконується дана умова, якщо по провіднику протікає постійний струм? Якщо не виконується, то чому?

8. Чому для довготривалого протікання постійного струму в електричному колі необхідно мати в будь-якому відгалуженні сторонню напруженість?

9. Як створюється стороння напруженість?

10. Яке співвідношення пов’язує між собою сторонню напруженість і електрорушійну силу?

11. В чому полягає принципова різниця між електростатичним полем і полем в провідному середовищі?

ЛІТЕРАТУРА

1. Круг К.А. Основы электротехники. Т.1 и Т.2. -М.: Госэнергоиздат, 1946. –472с.

2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле. –М.: Энергия, 1986. –263с.

3. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. Т.1 и Т.2. –М.: Энергия, 1988. –522с.

4. Говорков В.А. Электрические и магнитные поля. –М.: Энергоиздат, 1960. –462с.

5. Чиженко И.М., Бойко В.С. Линейные электрические цепи и методы их анализа. –К.: Вища школа, 1979. –112с.

6. Лавров В.М. Теория электромагнитного поля и основы распространения радиоволн. –М.: Связь, 1964. –368с.

7. Нестеренко А.О. Введение в теоретическую электротехнику. –К.: Наукова думка, 1969. – 352с.

8. Купалян С.Д. Теоретические основы электротехники. Ч.3. –М.: Энергия, 1970. –248с.

9. Слободян Л.Р. Електромагнітні поля електротехнологічних установок. –К.: Либідь, 1994. –172с.

10. Теоретические основы электротехники. Ч.2 // Под ред. проф. П.А.Ионкина. –М.: Высшая школа, 1965. –284с.

11. Сборник задач по теоретическим основам электротехники // Под. ред. Л.А.Бессонова. –М.: Высшая школа, 1975. –498с.

12. Теоретические основы электротехники: В 3-х т. Учебник для вузов. Т3. – 4-е изд. / К.С. Демирчян, Л.Р.Нейман, Н.В.Коровкин, В.Л.Чечурин. / – СПб.: Питер, 2003. – 377с.

Навчальне видання

Юхим Овдійович Карпов, Василь Васильович Кухарчук

Теоретичні основи електротехніки.

Електричне поле

Навчальний посібник

Оригінал-макет підготовлено В.В.Кухарчуком

Редактор О.Д.Скалоцька

Видавництво ВНТУ «УНІВЕРСУМ-Вінниця»

Свідоцтво Держкомінформу України

серія ДК № 746 від 25.12.2001

21021, м.Вінниця, Хмельницьке шосе, 95, ВНТУ

Підписано до друку Гарнітура Times New Roman

Формат 29,7 х 42 Папір офсетний

Друк різографічний Ум. друк. арк.

Тираж 200 прим.

Зам. №

Віддруковано в комп’ютерному інформаційно-видавничому центрі

Вінницького національного технічного університету

Свідоцтво Держкомінформу України

серія ДК № 746 від 25.12.2001

21021, м.Вінниця, Хмельницьке шосе, 95, ВНТУ