Дослідження екстремальних властивостей
Задача 5.5.1. У прямокутний трикутник з гострим кутом
та прямим кутом
вписано правильний трикутник так, що його вершини лежать на різних сторонах даного трикутника. При якій умові сторона правильного трикутника буде найменшою?
Розв’язання. Нехай – правильний трикутник, вписаний у даний трикутник
(рис. 26). Вважатимемо
. Тоді
. Точку
можна розглядати, як результат повороту точки
навколо точки
на кут
проти годинникової стрілки. Тоді точку
можна одержати внаслідок перетину відрізків
та
, де
- це образ відрізка
при повороті на
проти годинникової стрілки навколо центра повороту
. Оскільки кут
, то точка
. Очевидно, що
– правильний і
. Знайдемо висоту
у
:
. Із прямокутного трикутника
сторона вписаного трикутника дорівнює
. Розглянемо функцію
. Вона набуває свого найменшого значення при
=
.
Отже, якщо , тобто
, то вписаний правильний трикутник буде шуканий.
Задача 5.5.2. Всередині трикутника знайти точку
, для якої сума квадратів відстаней від неї до сторін трикутника мінімальна.
Розв’язання. Нехай відстані від точки
до сторін
,
будуть відповідно
(рис. 27). Тоді
,
де - площа даного трикутника. Сума квадратів відстаней від точки
до сторін трикутника буде дорівнювати
. В силу нерівності Коші - Буняковського виконується співвідношення
,
причому знак рівності виконується при умові . Одержуємо, що
.
Права частина є сталим числом. Тому ліва частина прийматиме найменше значення, коли виконується знак рівності, тобто при умові . Із цих співвідношень та рівності
остаточно дістаємо
.
Задача 5.5.3. Дано дві паралельні прямі та точка між ними. Побудувати прямокутний трикутник
з вершиною прямого кута в точці
та вершинами на заданих паралельних прямих, площа якого мінімальна.
Розв’язання. Проведемо через точку перпендикуляр до паралельних прямих (рис. 28). Нехай
. Трикутники
і
подібні. Тому
або
, звідки
. Оскільки
і
, то
. Отже, площа
буде найменшою, коли найменшою буде сума
. Добуток
є сталим числом
, тому сума
буде найменшою при
, тобто при
. Але якщо
, то
. Тепер трикутник
легко будується.
Задача 5.5.4. Знайти найкоротший відрізок, який ділить рівносторонній трикутник із стороною на дві рівновеликі фігури.
Розв’язання. Нехай трикутник рівносторонній із стороною
. Позначимо шуканий відрізок
. Нехай
,
(рис. 29). Тоді площа
. Оскільки площа всього трикутника дорівнює
, то з умови отримуємо, що
або
. За теоремою косинусів
або
. Очевидно, що відрізок
буде найменшим, коли найменшим буде значення виразу
. Добуток обох доданків є сталим і
, тому найменше значення суми буде при
, тобто при
. При цьому значенні
і
.
Застосування похідної
Задача 5.6.1. У правильну чотирикутну піраміду з ребром основи і висотою
вписана правильна чотирикутна призма так, що її нижня основа лежить всередині основи піраміди, а вершини верхньої основи – на бічних ребрах піраміди. Знайдіть найбільшу площу бічної поверхні таких призм.
Розв’язання. Нехай правильна чотирикутна призма вписана в піраміду так, як показано на рисунку 30. Нехай сторона основи призми дорівнює , а її висота
.З подібності трикутників
та
отримуємо
, а з подібності трикутників
та
випливає співвідношення
. З пропорції
знаходимо
. Оскільки площа бічної поверхні призми дорівнює
, то маємо
.
Одержаний квадратний відносно тричлен з від’ємним старшим коефіцієнтом досягає свого найбільшого значення в точці
. При цьому максимальна площа бічної поверхні буде
.
Задача 5.6.2. Навколо правильної трикутної призми з об’ємом
описаний циліндр. Знайдіть найменшу площу повної поверхні таких циліндрів.
Розв’язання. Нехай висота призми
, сторона основи
, радіус кола, описаного навколо основи
(рис. 31). Оскільки
радіус кола, описаного навколо правильного
трикутника, дорівнює
, то, відповідно до умови,
, звідки
. Тоді площа поверхні циліндра
. Розглянемо функцію
,
. Оскільки її похідна
перетворюється в 0 при
і у цій точці функціяприймає, як легко встановити, найменше значення, то
є найменшим значенням площі поверхні циліндра.
У деяких випадках для знаходження найбільшого і найменшого значення при розв’язанні геометричних задач не завжди зрозуміло, в яких межах змінюється значення величини, яка нас цікавить. Тоді зручно цю величину виразити через інші величини.
Задача 5.6.3. Плоска фігура складається з прямокутника і рівностороннього трикутника. Визначити її розміри так, щоб при даному периметрі площа була найбільшою (у величину периметра не враховується спільна сторона прямокутника і трикутника).
Розв’язання.Нехай
– сторона трикутника,
– сторона прямокутника (рис. 32). Тоді периметр
, звідки
.Очевидно, що
площа всієї фігури буде
=
=
=
.
Значення , при якому площа
буде найбільшою, визначаємо за допомогою похідної у виді
. Тоді
. Це і є розміри фігури, при яких при заданому периметрі площа буде найбільшою.
Задача 5.6.4.Який із всіх рівнобедрених трикутників, вписаних у дане півколо так, щоб одна із рівних сторін лежала на діаметрі, а друга була б хордою, має найбільшу основу?
Розв’язання. Нехай шуканим є трикутник і
,
,
(рис. 33),
- радіус заданого півкола з діаметром
.Проведемо
. Нехай
. Тоді
і
. Тепер знаходимо, що
. З прямокутного трикутника
отримуємо
, а із рівнобедреного трикутника
за теоремою косинусів маємо
.
Розглянемо функцію
, визначену на інтервалі
. Оскільки її похідна
перетворюється в 0 при
і
у цій точці приймає найбільше значення, то знайдене значення
є шуканим та вказує, як побудувати трикутник.