Глава 6 Семинарские занятия
Cеминар: Применение производной при исследовании функции
Основные вопросы
1. Признаки монотонности функции.
2.Необходимое условие существования экстремума.
3. Критические точки на экстремум.
4. Достаточные условия существования экстремума.
5. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
6. Выпуклость и вогнутость графика функции.
7. Точки, критические на перегиб.
8. Необходимое и достаточное условия существования перегиба.
9. Асимптоты графика функции.
Задания для семинара
№1 Доказать монотонность функции на всей числовой оси:
а) , б)
,
в) , г)
.
№2 При каких а функции монотонны всюду:
а) , б)
.
№3 Найти интервалы монотонности и экстремумы функций:
а) , б)
,
в) , г)
.
№4 С помощью 2-го достаточного условия существования экстремума исследовать поведение функции в указанной
точке хо:
а) ,
б) ,
в) ,
г) .
№5 Найти экстремумы, точки перегиба. Построить график.
а) , б)
.
№6 Определить выпуклость или вогнутость графика функции
в окрестности указанных точек:
а) ,
б) .
№7 Найти асимптоты и построить график: а) ,
б) .
№8 Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке:
а) , б)
.
Задания для самостоятельной работы
№9 Доказать монотонность функции на всей числовой оси:
а) , б)
, в)
.
№10 При каких а функции монотонны всюду:
а) , б)
.
№11 Найти интервалы монотонности и экстремумы функций:
а) , б)
,
в) .
№12 С помощью 2-го достаточного условия существования экстремума исследовать поведение функции в указанной
точке хо:
а) ,
б) ,
в) ,
г) .
№ 13 Найти экстремумы, точки перегиба. Построить график.
а) , б)
.
№ 14 Определить выпуклость или вогнутость графика функции
в окрестности указанных точек:
а) ,
б) .
№ 15 Найти асимптоты и построить график:
а) , б)
.
№16 Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке: а) , б)
.
Ответы
2. а) ; б) при
, при
.
3.а) при , при
,
;
б) ;
в)
;
г) )
4.а) , б)
, в) нет экстремума, г) хо не является критической точкой.
5.а) ,
; б)
,
,
.
6. а) - выпуклый график,
-вогнутый; б)
- выпуклый график,
-вогнутый. 7.а)
- вертикальные асимптоты,
наклонная асимптота,
; б)
горизонтальная асимптота, в)
.
8.а) ; б)
.
10.a) , в)
.
11.а) ,
б)
, в)
.
12.а) , б)
, в) нет экстремума, г) хо не является критической точкой.
13.а) нет точек экстремума,
б)
14.а) - выпуклый график,
-вогнутый; б)
- вогнутый график,
- выпуклый.
15.а) горизонтальные асимптоты,
;
б) .
16.а) , б)
Семинар: Неопределенный интеграл
Вопросы к семинару:
1. Первообразная и неопределенный интеграл.
2.Таблица интегралов. Вычисление неопределенных интегралов с помощью таблицы интегралов.
3. Нахождение интегралов методом компенсирующего множителя или введением под знак дифференциала.
4. Нахождение интегралов с помощью замены.
5. Метод интегрирования по частям.
Таблица простых интегралов
( х – независимая переменная)
Таблица интегралов сложных функций
Формула интегрирования по частям
таблица выбора функции U(x)
![]() | |
![]() | |
![]() |
Правила применения таблицы:
1. Если подынтегральное выражение является произведением функций из разных строк таблицы, то за U принимается функция, стоящая в таблице выше. Оставшееся выражение принимается за dV. При этом, выбирая U, следует всегда заботиться о том, чтобы dV было легко интегрируемым.
2. Если же подынтегральное выражение будет произведением функций изоднойстроки, то за U можно принять любуюиз этих функций. При этом интегрирование по частям, как правило, применяют дважды и получают равенство - уравнение, в котором неизвестным является искомый интеграл.
Задания для семинара
№1 Вычислить с помощью таблицы интегралов
а) , б)
,
в) , г)
.
№2 Найти интегралы методом компенсирующего множителя или введением под знак дифференциала
а) , б)
, в)
, г)
,
д) ,
е) ,
ж) ,
з) ,
и) .
№3 (Устно) Найти интегралы
а) , б)
, в)
, г)
,
д) ,
е) ,
ж) , з)
.
№4 Найти интегралы с помощью замены переменной:
а) , б)
, в)
, г)
.
№5 Найти интегралы методом интегрирования по частям:
а) , б)
, в)
, г)
. д)
е)
, ж)