Классическое определение вероятности события

Основные понятия теории вероятностей

 

Испытание и событие

Испытание (опыт, эксперимент) – это выполнение определенных условий, при которых наблюдается изучаемое явление.

Стрельба по мишени, бросание монеты, вынимание шаров из урны – это все примеры опытов.

Событие – это результат опыта. Будем обозначать события латинскими буквами , , , …

Пример 1.Производитсявыстрел по мишени.Событие - попадание в мишень, событие - промах.

Пример 2.Бросают монету. Событие - выпал герб, событие - выпало число.

Пример 3. В урне находятся черные и белые шары. Из урны извлекают один шар. Событие - извлечен черный шар, событие - извлечен белый шар.

Пример 4.Бросают кубик. Событие - выпало число 1, событие - выпало число 2.

 

Достоверное, невозможное и случайное события

 

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в результате опыта.

Пример 5. В урне находятся только черные шары. Из урны извлекают один шар. Событие - «извлечен черный шар» является достоверным, так как всегда вынимают черный шар.

Пример 6. Бросают кубик. Событие - «выпало какое-то число от 1 до 6» является достоверным.

 

Событие называется невозможным, если оно не может произойти в данном испытании.

Пример 7. В урне находятся только черные шары. Из урны извлекают один шар. Событие - «извлечен белый шар» является невозможным.

Пример 8. Бросают кубик. Событие - «выпало число 7» является невозможным.

 

Событие называется случайным, если оно может произойти в данном опыте, а может и не произойти.

Пример 9.События и из примера 1, события и из примера 2, события и из примера 3, события и из примера 4 – это примеры случайных событий.

 

Совместные и несовместные события

 

Два события называются совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает появление другого события.

Пример 10.Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Событие - попадание 1-го стрелка в мишень и событие - попадание 2-го стрелка в мишень. Эти события совместные, так как возможна ситуация, когда оба стрелка попадут в мишень.

 

Два события называются несовместными в данном опыте, если появление одного из них е исключает появление другого события.

Пример 11.События и из примера 1, события и из примера 2, события и из примера 3, события и из примера 4 – это примеры несовместных событий.

 

Полная группа событий

 

Множество событий называется полной группой событий, если они попарно несовместны (то есть никакие два из них не могут произойти одновременно) и какое-то из них обязательно произойдет.

Противоположные события – это полная группа из двух событий. Одно из противоположных событий обозначается буквой, а другой – той же буквой с чертой ( и ).

Пример 12. События и из примера 2 – противоположные: , или .

Пример 13.Бросают кубик. Событие - выпало число ( = 1, 2, 3, 4, 5, 6). Эти 6 событий образуют полную группу событий, так как всегда выпадает какое-то число от 1 до 6 и невозможна ситуация, когда при одном бросании выпадают сразу два числа.

 

 

Операции над событиями

Сумма событий

Суммой событий и называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них, то есть могут появиться либо только событие , либо только событие , либо оба события и одновременно.

 

На рисунке множества отождествляются с событиями . Заштрихованное множество включает в себя точки, входящих в область или в область , то есть объединение областей . Этому множеству соответствует событие .

Пример 14.Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Событие - попадание 1-го стрелка в мишень и событие - попадание 2-го стрелка в мишень. Сумма событий – это попадание в мишень хотя бы одного из этих стрелков.

Пример 15. Из урны, в которой находятся черные и белые шары, вынимают два шара. Событие - 1-й вынутый шар черный, событие - 2-й вынутый шар черный. Тогда сумма событий – это появление хотя бы одного черного шара.

 

Произведение событий

Произведением событий и называется событие, состоящее в их одновременном появлении.

 

Заштрихованное множество есть общая часть областей и . Это соответствует тому, что произошли одновременно все события и , т.е. .

Пример 16. В примере 14 произведение событий - попадание 1-го стрелка в мишень и - попадание 2-го стрелка в мишень – это попадание в мишень обоих стрелков.

Пример 17.В примере 15 произведение событий - 1-й вынутый шар черный, событие - 2-й вынутый шар черный – это то, что оба вынутых шара будут черного цвета.

 

Сложные события

Пример 18. По мишени производится два выстрела. Событие - попадание в мишень при -ом выстреле ( = 1,2). Пользуясь операциями над событиями, запишите события: – два попадания, – два промаха, – только одно попадание, – хотя бы одно попадание, – ни одного попадания.

Решение

- два попадания; – два промаха;

- только одно попадание;

– хотя бы одно попадание;

- ни одного попадания.

 

Вероятность события

 

Элементарные исходы

 

События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них происходит чаще других.

Каждое равновозможное событие, которое может произойти в данном опыте, называется элементарным исходом.

Пример 19. События из примера 13 – равновозможные события. - элементарные исходы ( = 1, 2, 3, 4, 5, 6). События и из примера 2 – равновозможные события. и - элементарные исходы.

 

Множество всех равновозможных элементарных исходов испытания называется пространством элементарных исходов (событий) испытания.

Пример 20.События - выпало число ( = 1, 2, 3, 4, 5, 6) образуют пространство элементарных событий испытания «бросание кубика».

Пример 21. Испытание - последовательное подбрасывание трех монет. Пространство элементарных событий состоит из 8 событий: .

Пример 22.Испытание - исследование состава двухдетной семьи. Пространство элементарных событий .

 

Элементарные исходы, при которых наступает некоторое событие, называются элементарными исходами, благоприятствующими этому событию.

Пример 23.В примере 13событию - «выпало четное число очков» благоприятствуют выпадение 2, 4 или 6 (то есть элементарные исходы , = 2, 4, 6). Событию - «выпало простое число» благоприятствуют выпадение 2, 3 или 5 (то есть элементарные исходы , = 2, 3, 5).

 

Классическое определение вероятности события

Вероятностью события называется отношение числа исходов , благоприятствующих событию , к числу всех равновозможных исходов опыта: .

Пример 24.Бросают кубик. Событие - выпало число ( = 1, 2, 3, 4, 5, 6). Событию «выпало четное число очков» благоприятствуют три элементарных исхода, а всего возможно элементарных исходов. Следовательно, вероятность события равна .

Пример 25. При бросании монеты (выпал герб) = (выпало число)= 0,5.

 

 

Свойства вероятности

1. Вероятность достоверного события равна 1.

2. Вероятность невозможного события равна 0.

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1, то есть .

 

 

Контрольные вопросы

1. Приведите пример опыта (испытания), который можно повторить достаточно много раз, но результат нельзя предсказать заранее. Укажите его закономерности.

2. Приведите примеры пространства элементарных событий.

3. Дайте определения понятиям: событие, достоверное событие, невоз­можное событие, противоположное событие. Приведите примеры.

4. Назовите противоположные события для событий:

- попадание в мишень при первом из трех выстрелов;

- выпадение четного числа очков при подбрасывании игрального кубика;

- хотя бы один раз выпал герб;

- из двух стрелков оба стрелка не попали.

5. Какое событие называется суммой событий? Приведите пример.

6. Какое событие называется произведением событий?Приведите
пример.

7. Пусть , , - события, наблюдаемые в одном и том же эксперимен­те. Опишите события: 1) + + ; 2) ; 3) + + ; 4) ; 5) .

8. Какие элементарные события называются благоприятствующими событию в данном опыте? Приведите пример.

9. Что называется вероятностью события?

10. Дайте классическое определение вероятности события. Укажите, при каких условиях оно применимо.

11. Чему равны вероятности достоверного события, невозможного события, слу­чайного события?