Задача 40 (Задача Бюффона)
На плоскости начерчены параллельные прямые, находящиеся друг от друга на расстоянии . На плоскость наудачу брошена игла длины
. Какова вероятность того, что игла пересечёт какую-нибудь прямую?
![]() |
Решение.
Рис. 7.18
Возможные положения иглы (отрезка) на плоскости полностью определяются положением середины иглы и углом поворота иглы относительно какого-либо направления. Причём две эти переменные (положение центра и угол поворота) меняются независимо друг от друга. Обозначим через расстояние от середины иглы до ближайшей прямой, а через
— угол между каким-то направлением прямых и иглой. Множество возможных положений иглы целиком определяется выбором наудачу точки из прямоугольника
.
Игла пересекает ближайшую прямую, если координаты выбранной наудачу точки удовлетворяют неравенству: . Площадь области
, точки которой удовлетворяют такому неравенству, равна
.
.
Тогда
.
Ответ: .
Задача 41. Монета упала на дощатый пол. Ширина доски , радиус монеты
. Какова вероятность того, что монета попадет на щель?
Решение. Пусть – координаты центра монеты – расстояние от края доски до монеты.
Пространств элементарных событий ,
.
Событие состоит в перекрытии щели монетой.
,
.
Вероятность появления события равна:
.
Ответ: .
Задача 42. Из отрезка [0, 2] на удачу выбраны два числа и
. Найдите вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам
.
Решение.
![]() |
Рис. 7.19
По условиям опыта координаты точки удовлетворяют системе неравенств:
Это значит, что точка
наудачу выбирается из множества точек квадрата со стороной 2. Интересующее нас событие происходит в том и только в том случае, когда выбранная точка
окажется под прямой и над параболой (рис. 7.19). Эта область получена как множество точек, ординаты которых удовлетворяют неравенствам
. Следовательно, искомая вероятность равна отношению площади области к площади квадрата:
.
Ответ: .
Задача 43. Наудачу взяты два положительных числа и
, каждое из которых не превышает двух. Найти вероятность того, что произведение
будет не больше единицы, а частное
не больше двух.
Решение. По условиям опыта координаты точки
удовлетворяют системе неравенств:
Область, благоприятствующая появлению события изображена на рис. 7.20.
Рис. 7.20
,
Тогда
.
Ответ: .
Задача 44. Доказать свойства С 3 – С 10.
Доказательство.
С 3. Нужно доказать, что для любого события :
.
Так как , и события
и
несовместные, то из аксиомы А2 и свойства С 2 получаем:
откуда .
С. 4Докажем, что если A⊆B, то .
Представим B, в виде суммы двух несовместных событий: . По свойству С 2 получаем
, откуда выражая
получаем требуемое.
С. 5Докажем свойство монотонности вероятности. (Если A⊆B, то ).
В доказательстве предыдущего свойства было получено . Но так как в силу аксиомы неотрицательности А1
, то
ч.т.д.
С 6. Требуется доказать, что .
По А1 . Но так как
, то по свойству С 5
откуда и получаем, что
.
С 7.Докажем, что
, следовательно, по свойству С 2
.
Так как слагаемое , то
, что сразу доказывает свойство С 8.
С 9. Покажем, что всегда выполняется
.
Так как , где
. А так как события
и
несовместны, то
.
Для доказательства свойства С 10: для любого конечного набора событий имеет место равенство (6.1)
,
воспользуемся методом математической индукции. При утверждение верно (свойство С 7.) Предположим, что утверждение верно для произвольных
событий
. Докажем, что оно верно для
. По свойству С 7
(7.1)
По предположению индукции первое слагаемое в правой части (7.1) равно
(7.2)
Вычитаемое в правой части (7.1) равно
(7.3)
Подставляя (7.2) и (7.3) в (7.1) получим
.
ч.т.д.