Вступ до математичного аналізу
| Основні теореми про границі | |
Якщо існують  і  , то мають місце теореми:
| Аналітичний запис |
| Границя алгебраїчної суми двох (скінченної кількості) функцій дорівнює алгебраїчній сумі границь цих функцій. | 
|
| Границя добутку двох (скінченної кількості) функцій дорівнює добутку границь цих функцій. | 
|
| Границя частки двох (скінченної кількості) функцій дорівнює частці границь цих функцій за умови, що границя дільника не дорівнює нулеві | 
|
| Сталий множник можна виносити за знак границі. | 
|
| Границя цілого додатного степеня функції дорівнює тому ж степеню границі функції. | 
|
| Визначні границі та їх наслідки | |
| Назва | Аналітичний запис |
| Перша визначна границя | 
|
| Наслідки | 1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
|
| Друга визначна границя |  де е=2,718281…
|
| Наслідки | 1. 
2. 
|
| Неперервність функції в точці | |
| Назва поняття | Означення |
| х0 – точка неперервності функції f(x) | 1. f(x) визначена в точці х0 і в деякому її околі.
2. Існує 
|
3. Виконується рівність  .
| |
| х0 – точка розриву функції f(x) | Не виконується одна з умов 1-3. |
| Класифікація точок розриву функції | |
| Назва | Означення |
х0 – точка розриву першого роду:
а) усувний розрив
 
|
 , але  невизначена або 
|
б) неусувний розрив
 (розрив типу „стрибка”)
|  , але обидві границі скінченні
|
 х0 – точка розриву другого роду
| Хоча б одна з границь  ,  не існує або дорівнює нескінченності.
|
Запитання для самоконтролю
1. Що називають функцією однієї змінної? Її областю визначення? Множиною значень?
2. Назвіть основні елементарні функції. Згадайте їх властивості і графіки.
3. Дайте означення границі послідовності, функції.
4. Сформулюйте основні властивості границь.
5. Запишіть і виведіть І-шу і ІІ-гу визначні границі.
6. Які границі називаються односторонніми?
7. Сформулюйте означення неперервної функції в точці і на інтервалі.
8. Що таке точки розриву функції? Як вони класифікуються?
Рекомендована література: [1], розділ 2;[8],розділ I,II; [5], ч.2, практичні заняття 1-20.
Приклад 2.1. Знайти область визначення функцій:
а) 
б) 
Розв’язання.а) При знаходженні області визначення даної функції потрібно згадати, що корінь парного степеня може існувати лише для невід’ємних чисел, а знаменник дробу повинен бути відмінним від нуля. Ці умови повинні виконуватись одночасно. А тому шукана область визначення являє собою розв’язок системи:
Зобразимо її на рисунку.
 |
Рис.3
Відповідь: 
.
б) З того, що логарифм існує для строго додатних чисел, а вираз, який міститься під знаком функції arcsin, за модулем не перевищує одиниці, маємо систему:
Зобразимо область визначення даної функції на рисунку.
 |
Рис.4
Відповідь: 
.
Приклад 2.2. Знайти границі функцій:
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
Розв’язання.а) При 
маємо неозначеність виду 
Щоб її розкрити, поділимо почленно чисельник і знаменник дробу на х у найвищому степені (в нашому випадку на х2). Маємо 
Зауважимо, що при величини 
та 
– нескінченно малі, а тому 
б) Безпосередня підстановка граничного значення х=-2 дає неозначеність виду 
Щоб розкрити цю неозначеність, виділимо в чисельнику і знаменнику дробу множник х+2і скоротимо на нього. (Множник х+2 обов’язково увійде в розклад на множники многочленів в чисельнику і знаменнику дробу, оскільки х=-2 – корінь обох многочленів. Зауважимо, що скорочення можливе, бо х+2≠0, хоча й(х+2)→0).
Для виділення множника х+2 в чисельнику і знаменнику дробу
виконаємо ділення квадратних тричленів на двочлен:
в) Безпосередня підстановка граничного значення х=6 дає неозначеність виду Щоб її розкрити, звільнимося від ірраціональності у знаменнику. Для цього домножимо чисельник і знаменник дробу на вираз, спряжений до знаменника, тобто, на 
г) Для знаходження даної границі використаємо наслідок з першої визначної границі 
У нашому випадку
= 
д) При маємо неозначеність виду 
. Щоб її розкрити скористаємося наслідком з другої визначної границі 
Для цього поділимо чисельник і знаменник основи степеня на 2х. Маємо:
Приклад 2.3. Дослідити функцію на неперервність і побудувати її графік:
Розв’язання. 
Функція визначена для всіх 
. Розрив можливий лише в точці х=2, при переході через яку функція змінює свій аналітичний вираз.
Знаходимо односторонні границі:
В точці х=2 функція має скінченний розрив (розрив першого роду).
“Стрибок” функції: 
Завдання для самоконтролю
1. Знайти область визначення функцій:
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
;
д) 
.
2. Знайти границі функцій:
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
;
є) 
; ж) 
; з) 
.
3. Дослідити функцію на неперервність і побудувати її графік:
