Гіпотеза про рівність декількох дисперсій нормально розподілених ознак генеральної сукупності за вибірками однакового об'єму
Нехай ознаки генеральної сукупності розподілені нормально. З цієї сукупності взято l незалежних вибірок однакового об'єму n і для кожної з них знайдені виправлені вибіркові дисперсії
, всі з однаковим числом ступенів свободи k=n-1. Потрібно для рівня значущості
перевірити гіпотезу про однорідність дисперсій;
. (4.30)
Розглянемо випадкову величину
, (4.31)
де - найбільша із всіх
виправлена вибіркова дисперсія. Розподіл цієї випадкової величини залежить тільки від числа ступенів свободи k=n-1 і кількості вибірок l.
Для заданого рівня значущості критична область
, де
=
(
, k, l) знаходять з таблиці критичних точок розподілу Кочрена (таблиця 7 у додатку). Критерій узгодження формулюється:
Нехай – точкова оцінка випадкової величини
, обчислена на основі l незалежних вибірок однакового об'єму. Тоді:
1. Якщо >
, то гіпотеза H0 – відхиляється.
2. Якщо <
, то гіпотеза H0 – приймається.
Приклад 4.16. Трьома експертами за 100-бальною шкалою проведена оцінка вагомості всіх факторів, що впливають на внутрішньогосподарський ризик, і отримані наступні результати:
І | |||||||||||||
ІІ | |||||||||||||
ІІІ |
Чи можна для рівня значущості стверджувати про узгодженість оцінок експертів (припускається, що оцінки експертів розподілені нормально).
Розв’язок. Вибіркове середнє для оцінок кожного експерта . Обчислимо виправлені вибіркові дисперсії
. Для цього спочатку оцінки кожного експерта представимо у вигляді наступних статистичних рядів:
xi | xi | |||||||||||||
ki | ki | |||||||||||||
xi | ||||||||||||||
ki |
Тоді:
,
.
Оскільки , то точкова оцінка
випадкової величини (4.31) рівна:
.
За таблицею 7 у додатку для ,
,
,
. Враховуючи, що
, то можемо стверджувати, що оцінки експертів узгоджені між собою.
4.5.6. Гіпотеза про рівність математичних сподівань двох нормально розподілених ознак і
генеральної сукупності з невідомими дисперсіями (залежні вибірки)
Нехай в генеральній сукупності досліджуються дві нормально розподілені випадкові величини (ознаки) і
, причому їх дисперсії невідомі. З цією метою взяті дві залежні вибірки однакового об’єму n, варіанти яких відповідно рівні xi та yi. Потрібно для рівня значущості
перевірити нульову гіпотезу Н0:
при альтернативній гіпотезі Н1:
.
Позначимо ,
,
. Випадкова величина
має t-розподіл Стьюдента з
ступенями свободи.
Критична область , де
знаходять з таблиці 4 у додатку.
Нехай – точкова оцінка випадкової величини
, обчислена на основі вибірки. Тоді, якщо
, гіпотеза відхиляється, а в протилежному випадку – приймається.
Приклад 4.17. Для аналізу результатів вступних випробувань з мови (хі) і математики (уі) взята вибірка об’ємом і отриманий наступний емпіричний розподіл:
![]() | ||||||||||||||||||||||
![]() |
![]() | |||||||||||||||||||
![]() |
Для рівня значущості перевірити чи значимо відрізняються результати вступних випробувань з мови і математики між собою, при умові, що вони розподілені нормально.
Розв’язок. Знайдемо спочатку різниці
а потім вибіркове середнє . Враховуючи, що
, обчислюємо:
Далі . За таблицею 4 додатку знаходимо t(0,05,40)=2,023. Оскільки
, нульова гіпотеза відхиляється, тобто результати з мови і літератури значно відрізняються між собою.
4.5.7. Гіпотеза про рівність невідомої ймовірності р гіпотетичній ймовірності
Нехай для досить великого числа n незалежних випробувань, в кожному з яких ймовірність р появи подій стала, але невідома, знайдена відносна частина
. Потрібно для заданого рівняння значущості
перевірити нульову гіпотезу
.
Випадкова величина при справедливості нульової гіпотези має нормальний розподіл з параметрами (0,1).
При альтернативних гіпотезах , де
- розв’язок рівняння
при
В останніх двох випадках
- розв’язок рівняння
.
Приклад 4.18. При аналізі результатів семестрового екзамену з деякого предмету отримано, що зі 110 студентів першого курсу 16 одержали негативну оцінку. Для рівня значущості перевірити нульову гіпотезу
про те, що 10% студентів отримають негативну оцінку при альтернативній гіпотезі
.
Розв’язок. Для випадкової величини шукаємо її точкову оцінку
За таблицею 2 додатку отримуємо, що ,
. Таким чином наше при пущення виявилось вірним.