Формирование передаточной функции НЧ-прототипа

 

Определим частоты фильтра прототипа

Нормированной частоты фильтра

Находим коэффициент неравномерности ослабления фильтра в ПП при A = DA и W = 1, когда y(1) = Тm(1) = 1:

Требования к НЧ-прототипу могут быть проиллюстрированы рисунком 4.

 

Порядок фильтра Чебышева при A = Amin и W =Wз, т. е. ослабление рассматривается в полосе непропускания. А в ПН полином Чебышева Тm(W) = chmarchW, поэтому

Для вычисления функции archх рекомендуется соотношение

Необходимо взять m=3 порядок низкочастотного фильтра прототипа.

Для фильтра 3 порядка при =3дБ полюсами нормированной передаточной функции

Обращаем внимание на то, что полюсы расположены в левой полуплоскости комплексной переменной р.

Формируем нормированную передаточную функцию НЧ-прототипа в виде

где v(р) – полином Гурвица, который можно записать через полюсы:

Производя вычисления, получим

Обращаем внимание на то, что числитель равен свободному члену полинома знаменателя.

Реализация LC-прототипа

 

Для получения схемы НЧ-прототипа воспользуемся методом Дарлингтона, когда для двусторонне нагруженного фильтра (рис.3) составляется выражение для входного сопротивления Zвх.1(р). Подставляя в него значение v(р) и значение h(p), после преобразований получим

Эта формула описывает входное сопротивление двухполюсника (согласно схеме на рис. 3 фильтр, нагруженный на сопротивление Rн, это действительно двухполюсник). А если известно выражение для входного сопротивления, то можно построить схему двухполюсника, воспользовавшись, например, методом Кауэра. По этому методу формула для Zвх(р) разлагается в непрерывную дробь путем деления полинома числителя на полином знаменателя. При этом степень числителя должна быть больше степени знаменателя. Исходя из последнего, выражение преобразуется к виду

после чего производится ряд последовательных делений. Вначале числитель делим на знаменатель:

Затем первый делитель делим на первый остаток:

Второй делитель делим на второй остаток:

Третий делитель делим на третий остаток:

Получили четыре результата деления, которые отражают четыре нормированных по частоте и по сопротивлению элемента схемы в виде значений их проводимостей: pC, 1/pL, 1/R. Из анализа первого результата деления следует, что он отражает емкостную проводимость, поэтому все выражение можно записать в виде цепной дроби:

По этой формуле составляем схему (рис. 5), на которой С1н = 3,349; L2н = 0,712; С3н = 3,349; Rг.н = Rн.н = Rнор.


Денормируем элементы схемы НЧ-прототипа, используя соотношения:

где wн = wп.нч – нормирующая частота;

Rг –нормирующее сопротивление, равное внутреннему сопротивлению источника сигнала.

Используя данные соотношения и значения wн и Rг получаем реальные значения элементов схемы НЧ-прототипа:

Ф

Гн Ф