Основные свойства дискретного преобразования Лапласа

Свойства Д и D преобразований совпадают

1. ;

2. Дискретн. преобр. суммы равно сумме дискретных преобразований

;

3.

4Изображение дискрет. сигнала можно выносить за знак дискр. сигнала ;

5 можно выносить за знак Д преобразования

№ x(p)
k k k



Передаточная функция одноконтурной импульсной САУ

 

Структурная схема

Определить передаточную функцию замкнутой системы:

Ф*(р)-? Ф*(z)-?

Передаточной функции импульсного элемента не существует, т.к. на входе - изображение непрерывной функции, на выходе – дискретной.

X(p)=g(p)-y(p) (1)

формирователь можно отнести к непрерывной части системы.

y(p)=x*(p)Sф(p)Wn(p)=x*(p)W(p) (2)

W(p)=Sф(p)Wn(p)

Подвергнем выражения 1,2 дискретному преобразованию Лапласа, тогда на основании свойств можно записать:

x*(p)=g*(p)-y*(p) (3)

y*(p)=x*(p) W*(p)

y*(p)=[g*(p)-y*(p)] W*(p)

(аналогия с непрерывными системами)

 


Передаточная функция двухконтурной импульсной САУ

x(p)=g(p)-y(p)αy1(p)

y1 (p)=x*(p)Sф(p)W1(p)= x*(p)W3(p)

 

y (p)=x*(p)Sф(p)W1(p)W2(p)

x*(p)=g*(p)-y*(p)- αy1(p)

y*1 (p)=x*(p) W3(p)

  {   У(p)=x*(p) W*(p)  
x*(p)=g*(p)-y*(p)- αx(p) W3*(p)  

- можно определить передаточную функцию

[g-y-αy/W2p] W1(p) W2(p)=y

 



Переход от непрерывной передаточной функции к дискретной

 

Возможны 2 варианта перехода:

1)для перехода можно использовать таблицу дискретного преобразования Лапласа и свойства;

2)если формирователь прямоугольный с коэф. заполнения - 1.

Для нулевого корня выражения (1) и (2) представляют собой неопределенность вида 0/0 по правилу Лапиталя


Пример: Записать функцию разомкнутой дискретной САУ

, тогда

Воспользуемся формулой (2): B(p)=K, A(p)=p( ) p1=0, p2=

 
B(0)=K,

Устойчивость импульсных САУ

 

По аналогии с непрерывными системами импульсная система будет устойчива, если её реакция на ограниченное входное воздействие также ограничено

Характеристическое ур-е замкнутой САУ:

(57)

При использовании D-преобразования нельзя пользоваться критерием Рауса-Гурвица, т.к. условие устойчивости совпадают, но не совпадает форма записи характер-го уравнения.

Импульсная система будет устойчива, если

(58)

1) Если внутри окружности – с-ма устойчива

2) Если на границе окр-ти – с-ма на границе устойчивости

3) Заокружностью = с-ма неустойчива

 

 

При использовании z – преобразования, также нельзя воспользоваться критерием уст-ти для непрерывных САУ, т.к. форма записи совпадает, но не совпадает условие устойчивости.

ТАУ помимо D и Z – преобразования еще использует W-преобразование. Переход от D и Z-преобр. к W осущ-ся по формуле:

(59)

(60)

(61)
Из (61) видно, что при , . С-ма будет устойчива, если все корни хар-го уравнения (60) нах-ся в левой комплексной полуплоскости.