![]() |
![]() |
Категории: АстрономияБиология География Другие языки Интернет Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Механика Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Транспорт Физика Философия Финансы Химия Экология Экономика Электроника |
Объём тела, вычисляемый по площади поперечного сечения телаПроизводная от интеграла по его верхнему пределу. Теорема Барроу. Пусть в определенном интеграле нижний предел постоянный, а верхний изменяется, тогда будет изменяться значение интеграла, т.е. при рассмотренном условии интеграл есть функция своего верхнего предела.
При постоянной а, этот интеграл будет собой представлять функцию верхнего предела Теорема Барроу: Если f(x) – непрерывная функция на [a;b] и Доказательство: Пусть
Из теоремы Барроу следует что Формула Ньютона – Лейбница Теорема: Если Если F(х) – есть какая-либо первообразная от функции f(х), которая непрерывна на [a,b], тогда справедлива формула Н.-Л. Доказательство: Пусть F(x) – некоторая первообразная от функции f(x), то по теореме Барроу Две любые первообразные от данной функции отличаются на постоянное слагаемое – С.
Воспользуемся По св-ву 12 ( Вывод: формула Н.- Л. позволяет вычислить определенный интеграл в том случае, когда известна первообразная подынтегральной функции. Примеры: 1) 2)Вычислить среднее значение функции: f(x)=x на отрезке [0,n/2] Замена переменной в определенном интеграле Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], t - новая переменная, такая что x=g(t). Пусть функция g(t) – непрерывна на отрезке [ 1) 2) 3)
Доказательство: Пусть F(x) первообразная для f(x) по определению первообр. Интегрируя оба равенства в пределах от a до b получаем
По условию 2 теоремы: Правые части последующих выражений равны, то равны и левые—что и доп. формулу замены переменной в определенном интеграле. Замечание: при вычислении определенного интеграла по 6.5.1 к старой переменной не возвращаемся. Примеры: 1) = 2) Формула дл интеграла по симметричному отрезку от -а до а
3) Интегрирование по частям в определенном интеграле. Пусть U(x), V(x) Докажем формулу интегрирования по частям в определенном интеграле
Пример:
=
Несобственные интегралы В определенном интеграле 1)[a,b] 2) Возникает необходимость распространить определенный интеграл на случай: 1)бесконечного промежутка интегрирования 2)разрывной подынтегральной функции
Признаки сходимости несобст-ых Интег-ов с бесконечн. Предел. Т.1 Если для
Т.2 Для случая ф-ии
Т.3 для случая ф-ия f(x) имеющий знак в бесконечном промежутке, Если 6.7.2 Сущ-ет у=f(x) определена и непрерывна для всех х принадлежащих на [a,b) в (.) х=b либо определена, либо имеет бесконечный разрыв.
Определение
Если предел в правой части сущ-ет и конечен, то несобственный
Пусть ф-ия у=f(х) не прерывна на
Если предел в правой части сущ-ет и конечен , то Интег-ал назыв-ся Сходящимся, в противном случае Расходящимся! Если ф-ия у=f(x) имеет бесконечный разрыв в (.) х=с или неопределена, где а
Если сходится одновременно оба Интег-ла в Прав. Части , то сходится Интег-л и в левой части. Если хотя бы один из Интег-лов в Прав-й части расходится, то расходится и Интег-л в левой части. Если функция у=f(x) на отрезке [a,b], где она определена и непрерывна, и имеет конечное число (.) разрыва Если каждый из несобственных Признаки сходимости несобственных Т.1 Если на промежутке [a,b) ф-я у=f(x) и g(x) определены и непрерывны в (.) x=b эти ф=ии имеют разрыв для всех
Если прямая линия задана параметрически 6.9 Вычисление площади плоской фигуры в полярной системе координат. Пусть линия огранич. плоскую фигуру задана в полярной системе координат. Пример: Вычислить длину окружности: x2+y2=R2 Вычислить длину 4-ой части окружности, расположенной в I квадранте(х0, y0): Если уравнение кривой задано в параметр-ой форме: получим Замечание: Задана плоская кривая , можно также рассматривать функцию, заданную параметр-ки в пространстве, тогда добавится функция z=z(t) и формула Пример: Вычислить длину астроиды, которая задаётся уравнением: x=a*cos3(t), y=a*sin3(t), a>0 Вычислить длину 4-ой части:
Пусть в полярной системе координат задано уравнение кривой: Формулы перехода от полярных координат: рассматривать как параметрические: - параметр, по ф-ле 2 Пр: Вычислить длину кривой :
З -ние: вычислим половину длины окружности: Объём тела, вычисляемый по площади поперечного сечения тела. Пусть задано тело, ограниченное замкнутой поверхностью и пусть известна площадь любого сечения этого тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ох. Эта площадь будет зависеть от положения секущей плоскости.
Для определения объёма такого тела разобьём его на слои с помощью секущих плоскостей, перпендикулярных к оси Ох и пересекающих её в точках
Объём тела вращения: Пусть тело образовано вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), осью Ох и прямыми x=a, x=b. Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и неотрицательна на нем, тогда сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной Ох есть круг, радиусом R=y(x)=f(x) . Площадью круга S(x)=Пy2(x)=П[f(x)]2.Подставляя формулу Если же вокруг оси Оу вращается криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной на [c,d] функцией Этот же объём может быть вычислен по формуле: Делая замену переменной получим: Если линия задана параметрическими уравнениями : y()=c, y()=d. Делая замену y=y(t) получим:
Вычислить 1способ:
2способ:
2)Вычислить V тела вращения вокруг оси ОХ криволинейной трапеции, ограниченной прямой у=0, дугой |