Теореми двоїстості у випадку наближення кінцевовимірним підпростором
У випадку, коли апроксимуюча множина є кінцевовимірним підпростором, двоїсні співвідношення зовсім легко виводяться із теореми Ханна- Банаха і її наслідків, без застосування теореми відокремлення.
Скрізь X буде позначати лінійний нормований простір, X*- простір, спряжений з X, елементами якого є задані на X лінійні обмежені функціонали f з нормою
Теорема: якщо - фіксована система елементів простору X, то для будь- якого x X
де нижня межа береться по можливим числам , а верхня- по всім функціоналам f X* з нормою f
1, які перетворюються в нуль на елементах
. Верхня грань досягається на деякому функціоналі
,
=1.
Доведення: нехай F- множина елементів u X вигляду
Таким чином, F є лінійне різноманіття, яке містить не більше ніж n лінійно незалежних елементів, тобто F- кінцевовимірний підпростір в X. Через позначимо множину функціоналів f X* таких, що f(u)=0
u
F. Співвідношення (1), яке ми повинні довести, перепишемо у вигляді
Якщо x F, то (2) тривіальне, адже перетворюється у рівність 0=0. Нехай x
F.
такий, що
При чому d . Для будь- якого функціонала
з нормою
маємо
f(x)=f (x)-f ( =f (x-
)
так що
З іншого боку, в силу наслідка 2 із теореми Хана- Банаха існує функціонал такий, що
=1 і
Це означає, що насправді в (3) має місце знак рівності. Теорема доведена.
Теорема: якщо - фіксована система функціоналів з X*, то для будь- якого f X*
де нижня межа розповсюджена на усі можливі системи чисел , а верхня береться по всім елементам x X з нормою
, на яких перетворюється на нуль кожен із функціоналів
Доведення: позначимо через H множину елементів x X, для котрих Зрозуміло, що H- замкнене (в силу неперервності
) лінійне різноманіття, тобто підпростір в X.
Наряду з функціоналом f X* будемо розглядати його звуження на підпростір H, тобто заданий на H лінійний обмежений функціонал такий, що
(x)=f(x) для усіх x H. Очевидно, що
Продовженням функціоналу на весь простір X є не тільки функціонал f, а і будь- який функціонал вигляду
Де - довільні числа, адже якщо x H, то
=0 і
= f(x)=
(x). Покажемо, що будь- яке продовження функціонала
з H на X має вигляд (5). При цьому, не втрачаючи загальності, ми можемо вважати функціонали
лінійно незалежними. Існує система елементів
біортогональна система функціоналів
, тобто така, що
якщо k
i i
1. Якщо x X, то елемент
належить H, адже
Таким чином, будь- який елемент x X можна представити у вигляді
Фіксуємо f X* і позначимо через продовження функціонала
з H на X. Для будь- якого x X, враховуючи представлення (6), а також те, що
будемо мати
тобто функціонал можна представити у вигляді (5) з
Оскільки при продовжені норма функціонала може тільки збільшуватися , то для будь- якого набору коефіцієнтів
З іншого боку, в силу теореми Хана- Банаха існує продовження функціонала з
на X, що зберігає норму, тобто існує система коефіцієнтів
для якої
Теорема доведена.
Співвідношення двоїстості у випадку наближення опуклою замкненою множиною
Теорема: якщо F- опукла замкнута множина лінійного нормованого простору X, то для будь- якого елементу x X справедливе співвідношення
де - простір, спряжений з X. При кожному x X\F існує функціонал
з нормою
=1, який реалізує верхню межу у правій частині (7).
Нехай X це - дійсна площина з прямокутними координатами
.
При цьому вважатимемо, що в правій частині (7) верхню межу можна брати тільки за функціоналом таким, що
Лінійний функціонал
* визначається вектором a={a1, a2}
і
a1x1+a2x2 для будь- якого x={x1, x2}
. Якщо
, то |
співпадає з відстанню точки x від прямої l(f), на якій
, і для опуклої замкненої множини F
величина , якщо вона невід`ємна, дає відстань точки
(
F) від найближчої до неї опорній до F прямої L(f) (рис. 1). Ця відстань в силу опуклості F буде найбільшою, якщо проекція u0 точки
на пряму L(f)= L(f0) буде належати до F, тобто буде найближчою до
точкою на множині F.
Будемо вважати множину F фіксованою і введемо позначення:
E(x)
N(x)
де - замкнена одинична куля в
, тобто,
={f:f X*, f1}.