Метрологічна оцінка результатів вимірів

Мета роботи:Навчитись визначати випадкову та систематичну похибки результатів експериментів з врахуванням класів точності засобів вимірів.

Вихідна інформація:В результаті експериментів отримана вибірка об’ємом n=30 (див. табл. 4.1 для свого варіанта). При вимірах було використано два прилади П1 та П2 з відносними похибками δ₁ і δ₂, відповідно (див табл. 3.4 лабораторної роботи №3). Необхідно: 1) обчислити вибіркове середнє; 2) виключити грубі помилки, які можливі при вимірах; 3) методом вірчих інтервалів з імовірністю р=0,95 визначити випадкову похибку ε (за інтегральною функцією Гауса або Стьюдента); 4) обчислити результуючу систематичну похибку для двох приладів; 5) визначити результуючу похибку з врахуванням класів точності приладів і вказати метрологічний інтервал, в якому слід очікувати величину х, що вимірювалась.

Таблиця 4.1

Дані	Варіанти

	1,18	5,03	3,73	3,65	4,46	4,1	1,98	2,66	1,52	1,73
	1,18	3,08	4,12	3,31	2,44	3,14	2,51	1,94	2,45	2,12
	1,13	2,8	2,18	1,33	2,27	3,1	1,95	1,21	1,92	2,31
	1,27	2,49	4,18	3,55	3,4	4,58	2,06	1,32	1,76	1,74
	1,15	1,79	1,24		4,49	2,62	1,61	2,13	1,9	2,23
	1,16	2,29	3,22	4,53	3,17	2,64	2,19	1,51	0,99	2,07
	1,29	1,69	3,28	2,52	2,79	3,86	2,17	1,91	1,75	2,44
	1,22	3,55	2,56	2,28	4,36	2,41	1,14	2,32	2,79	2,63
	1,16	4,2	3,75	3,51	2,47	3,85	2,17	2,6	1,77	1,87
	1,23	3,03	4,34	3,85	1,94	2,23	2,9	2,19	2,7	2,25
	1,13	3,32	3,05	0,86	3,18	3,95	2,82	1,98		2,3
	1,11	4,11	4,08	3,08	3,18	2,85	1,29	1,73	2,65	1,76
	1,1	3,66	2,68	4,31	2,2	4,84	0,94	2,07	1,89	1,06
	1,24	2,91	3,35	3,01	3,25	2,89	1,04	1,12	1,71	1,77
	1,11	3,64	3,61	5,93	3,42	3,49	3,26	2,02	1,74	1,54
	1,04	2,96	3,26	2,79	3,95	1,57	1,76	2,1	2,09	1,17
	1,21	4,47	1,74	2,19	3,57	2,78	1,8	2,31		1,88
	1,07	2,16	3,71	3,04	2,52	4,07	2,45	2,23	2,53	1,49
	1,17	3,96		3,12	2,09	4,74	1,83	1,8	0,83	2,62
	1,02	2,36	1,59	4,31	1,67	4,02	1,73	3,05	2,06	0,67
	1,16	2,56	1,84	2,05	2,14	3,82	2,04	1,63	2,08	2,94
	1,12	2,99	2,74	2,77	3,02	3,32	2,76	1,36	2,16	2,16
	1,13	2,58	5,38	2,21	2,98	2,26	1,84	2,65	2,19	1,75
	1,04	3,02	2,69	2,96	2,88	2,77	0,92	1,33	1,26	2,07
	1,23	4,14	2,23	4,25	0,3	4,16	1,98	2,15	1,57	1,81
	1,07	2,82		3,61	2,9	2,8	1,63	1,77	2,38	2,39
	1,15	3,32	3,4	2,22	3,1	2,1	1,55	1,62	2,3	1,02
	1,38	3,42	3,98	4,37	1,76	3,21	2,23	1,48	1,87	2,24
	1,27	2,98	2,26	3,7	1,66	5,39	2,09	1,69		2,53
	1,1	3,65	3,02	4,44	2,7	1,91	2,37	1,63	2,37	2,2
Дані	Варіанти

	3,72	3,51	4,01	3,52	1,92	2,71	4,67	2,94	2,64	3,29
	4,07	3,57	3,51	4,68	1,3	3,28	2,76	3,62	2,39	3,33
	4,21	4,64	4,47	3,39	1,77	2,77	5,78	2,59	2,64	3,24
	3,89	3,68	4,33	3,55	2,92	2,62	4,83	3,28	3,31	3,01
	3,68	4,07	4,62	3,69	2,03	3,8	3,08	3,06	2,67	3,27
	3,42	3,55	3,71	3,65	4,02	0,69	3,95	2,87	3,94	3,22
	5,07	3,74	4,34	3,68	2,65	3,61	2,44	2,9	3,03	2,99
	4,07	3,53	4,14	3,84	1,72	3,51	2,74	2,56	2,95	2,73
	3,39	3,95	2,99	4,2	3,42	3,88	3,35	3,45	3,51	3,04
	4,53	4,51	3,18		3,13	3,21	2,59	3,64	2,66	2,84
	3,66	4,26	4,66	3,69	3,03	3,11	2,94	2,06	2,54	3,96
	3,87	4,28	3,26	5,11	3,16	2,07	2,53	3,71	3,72	2,16
	4,17	3,76	3,8	3,2	2,32	2,05	4,16	2,88	3,25	4,21
	4,54	3,62	3,95	4,77	4,21	3,69	3,77	3,19	3,6	3,51
	3,4	3,54	4,41	4,31	4,48	1,22	0,96	4,06	3,13	2,58
	4,1	3,78	4,75	3,99	3,46	4,85	4,62	3,23	2,61	3,85
	3,81	3,64	3,98	3,68		3,83	3,61	2,96	3,61	3,51
	4,06	3,79	4,51	3,24	2,4	2,53	2,31	2,64	3,2	2,98
	3,97	4,5	2,99	3,7	4,68	2,86	3,71	2,75	3,27	3,46
	3,77	3,52	4,44	4,03	2,84	3,56	2,02	3,2	3,16	3,1
	4,85	4,4	4,2	4,22	1,99	4,2	4,85	3,4	2,92	3,15
	5,04	3,9	4,57	4,17	5,2	1,95	3,94	2,92	4,03	4,21
	4,01	3,6	3,94	4,59	3,14	3,13	4,81	3,18	3,7	3,1
	3,59	4,07	4,47	4,18	2,27	3,93	2,42	3,4		3,34
	3,96	3,83	3,73	3,41	2,97	2,69	2,29	2,36	3,3	2,82
	4,4	3,66	2,98	4,56	1,84	0,58	4,49	3,17	3,28	3,7
	4,57	4,01	4,17	4,03	2,53	3,68	1,53	3,26	2,48	3,1
	4,4	3,7	4,21	4,85	3,59	2,41	2,18	2,93	3,65	4,12
	3,84	3,32	3,85	4,6	3,8		2,8	3,22	3,14	3,6
	3,88	3,99	4,2	5,46	2,4	3,36	2,81	2,77	3,55	3,27

Дані	Варіанти

	4,11	3,58	2,65	3,91	1,3	1,24	4,8	4,37	2,77	4,23
	3,37	4,32	4,06	2,44	3,3	2,43	2,14	2,67	3,81	2,49
	4,89	3,48	2,8	3,29	3,05	4,43	2,2	3,19	3,67	2,73
	3,09	3,87	5,56	4,32	3,3	1,97	2,82	0,45	2,06	1,67
	2,91	2,41	2,83	4,04	3,45	3,83	4,8	2,98	2,72	2,26
	2,21	4,39	4,83	3,96	1,86	5,08	2,88	3,41	2,95	2,12
	3,97	3,02	3,17	3,51	4,86	2,35	2,6	0,75	2,39	1,64
	4,86	0,65	2,7	3,14	1,97	3,38	3,62	1,08	3,73	2,38
	3,74	1,33	2,16	2,35	2,35	3,38	3,07	3,09	4,2	4,36
	2,58	2,03		2,7	4,34	2,58	1,49	3,19	4,04	2,37
	3,17	3,01	4,94		2,37	4,34	2,03	2,37	3,54	2,06
	2,17	3,18	2,21	2,84	2,93	0,95	2,84	2,19	1,35	3,96
	2,1	2,77	2,75	1,63	3,1	2,14	3,48	2,28	3,5	4,25
	2,48	2,88	4,33	1,7	1,26	2,93	3,44	3,86	1,82	4,43
	4,18	2,33	3,29	4,63	3,53	2,99	4,87	3,47	1,59	2,55
	2,18	4,3	2,5	1,08	3,41	3,3	1,91	4,33	2,1	2,27
	2,9	0,99	2,64	3,14	2,15	3,05	1,67	3,26	3,9	2,84
	2,68	3,51	4,6	2,41	3,51	2,98	2,57	1,58	3,29	3,14
	2,74	1,6	2,96	3,58	3,8	3,67	4,25	3,63	2,54	2,37
	3,11	2,49	2,96	1,68	3,05	2,66	3,48	2,32	3,53	3,77
	3,01	4,54	2,97	4,15	3,06	4,91	2,61	2,82	3,15	2,4
	4,96	4,14	2,82	3,79	3,68	4,21	3,04	2,65	3,83	4,23
	0,6	1,14	1,41	2,59	4,45	5,08	2,94	3,55	3,53	2,68
	3,31	3,05	-0,23	2,55	4,42	1,4	3,57	2,95	3,03	1,3
	3,48	3,64	4,76	2,66	2,86	3,51	2,11	2,29	3,23	2,52
	3,46	4,26	2,46	2,11	2,23	1,72	3,71	3,32	5,3	3,71
	1,99	2,62	5,18	1,8	1,61	2,44	3,33	4,34	2,99	3,38
	2,59	2,71	3,03	5,15	3,27	1,96	2,22	3,03	3,07	3,45
	2,03		3,57	2,51	4,16	3,09	1,94	1,5	1,6	3,09
	4,09	5,13	5,18	2,01	3,96	2,71	3,71	2,92	2,98	2,34

СТАТИСТИЧНА ОБРОБКА РЕЗУЛЬТАТІВ ВИМІРІВ

1) Визначається середнє арифметичне значення результатів вимірів (вибіркова середня)

(4.1)

Обчислюється виправлене (незміщене) значення середнього квадратичного відхилення результатів вимірів (стандарт вибірки)

(4.2)

2) Виключаються грубі помилки в експерименті на основі обчислень

x₁=m_x-t_pS_x (4.3)

x₂= m_x-t_pS_x (4.4)

де: t_p–коефіцієнт Стьюдента, який залежить від імовірності р=0,95 та параметра k=N-1 (див. табл. 4.2)

Таблиця 4.2

Розподіл Стьюдента,Значення t=t(Р,k)
	k	Р
	0,9	0,95	0,98	0,99	0,999
		2,132	2,776	3,747	4,604	8,61
		2,015	2,571	3,365	4,032	6,859
		1,943	2,447	3,143	3,707	5,959
		1,895	2,365	2,998	3,499	5,405
		1,86	2,262	2,896	3,355	5,041
		1,833	2,228	2,821	3,25	4,781
		1,812	2,201	2,764	3,169	4,587
		1,796	2,179	2,718	3,106	4,487
		1,782	2,16	2,681	3,055	4,318
		1,771	2,145	2,65	3,012	4,221
		1,761	2,131	2,624	2,977	4,14
		1,753	2,13	2,602	2,947	4,073
		1,746	2,12	2,583	2,921	4,015
		1,734	2,103	2,552	2,878	3,922
		1,725	2,086	2,528	2,845	3,85
		1,708	2,06	2,485	2,787	3,725
		1,697	2,042	2,457	2,75	3,646
		1,689	2,03	2,437	2,724	3,591
		1,684	2,021	2,423	2,704	3,551
		1,679	2,014	2,412	2,689	3,522
		1,676	2,008	2,403	2,677	3,497
		1,671		2,39	2,66	3,46
		1,667	1,995	2,381	2,648	3,436
		1,664	1,99	2,374	2,639	3,416
		1,662	1,987	2,368	2,632	3,401
		1,66	1,984	2,364	2,626	3,391
	∞	1,645	1,96	2,326	2,576	3,291

Закреслюють варіанти вибірки х_і>х₂ і отримують нову вибірку об’ємом n. Для нової вибірки повторюють розрахунок за п.1.(Якщо найменша варіанта х_і>х₂ і найбільша х_і<х₂, то вибірку залишають початковим об’ємом N і грубі випадкові помилки в експерименті відсутні)

3) За допомогою таблиці 4.2 для імовірності Р=0,95 і значення k=n-1 знаходиться коефіцієнт Стьюдента t_р. Імовірне значення випадкової похибки ε обчислюється за формулою

(4.5)

а вимірювана величина х буде знаходитись в інтервалі

х є (m_х-ε; m_х+ε)

4) Абсолютна систематична похибка для двох приладів обчислюється за формулою

(4.5)

5) Результуючу похибку метрологічних вимірів з урахуванням класу точності приладів обчислюють наступним чином: а) визначають результуючий стандарт всіх похибок за формулою

(4.7)

6) Обчислюється коефіцієнт К

(4.8)

в) Метрологічна межа результуючої похибки вимірів обчислюється за формулою

(4.9)

а величина, що вимірювалась, буде розташована в інтервалі

х є (m_х-Δ; m_х+Δ)

Оформлення звіту

1. Переписати текст вихідної інформації з наведенням вибірки, відносних похибок δ₁ та δ₂ приладів П1 та П2.

2. За стандартною програмою статистичних обчислень (наприклад, на калькуляторі типу СІТІZЕN) обчислити m_х=х та S_х=σ_n-1.

3. За пунктом 2 виключити грубі помилки і скорегувати нові значення вибіркової середньої m_х стандарту вибірки та її об’єму n.

4. За пунктами 3-5 з наведенням відповідних формул обчислити значення ε, Θ та Δ.

5. Результати обчислень оформити в таблицю

m_х	n	S_х	ε	Θ₁	Θ₂	Θ	Δ

Межі інтервалів

m_х-ε	m_х+ε	m_х-Θ	m_х+Θ	m_х-Δ	m_х+Δ

6. Обчислити значення

(4.10)

порівняти значення ε, Θ та Δ і зробити висновок, що більшим чином ε(а 0,8) чи Θ(а 8) впливає на результуючу величину Δ.

Контрольні запитання

1. Відносна та абсолютна похибки та їх взаємозв’язок.

2. Що таке випадкова похибка і чим вона викликана?

3. Систематичні похибки і причини їх виникнення.

4. Які похибки неможливо виключити ні за яких умов?

5. Охарактеризувати послідовність статистичної обробки результатів вимірювання.

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №5