Динамічна система як об'єкт управління і спостереження
Дослідження космічного простору виконується як за допомогою аналізу випромінювань від об'єктів, що вивчаються, так і за допомогою спостережень за пробним тілом - планетою, супутником планети, астероїдом, космічним апаратом. У останньому випадку штучне пробне тіло може бути керованим за допомогою збудження негравітаційної зовнішньої дії на пробне тіло (тяга). Класична небесна механіка вивчає рух небесних тіл, що здійснюється під дією сил гравітації. На цей рух не можна впливати, їм не можна управляти. Сучасна небесна механіка включає в розгляд і негравітаційні сили. Це гальмування в атмосфері і тиск світла. У завданнях астродинаміки розглядаються також і активні сили, тобто такі сили, які створюються штучно для досягнення конкретної мети управління і виробляються після аналізу даних спостереження, що містять інформацію про стан даного пробного тіла: його координатах, орієнтації, напрямі і величині швидкості руху, параметрах траєкторії.
Управління може бути здійснене за заздалегідь заданою програмою, графіком. Наприклад, детально прораховується режим роботи двигуна ракети-носія при запуску штучних супутників Землі (ІСЗ) і виводі їх на орбіту. Проте сигнал управління для переходу космічного корабля з однієї орбіти на іншу залежить від параметрів (елементів) цих орбіт і маневр виконується після траєкторних вимірювань (спостережень). Так само виконується управління при стиковці два космічних об'єктів, при посадці космічного корабля на поверхню планети або її природного супутника. Всі ці завдання є предметом вивчення астродинаміки.
При астрометричних спостереженнях за допомогою космічного телескопа виникає завдання оптимальної процедури переорієнтації супутника, на якому встановлений астрономічний інструмент. В даному випадку поєднуються і програмне управління, і управління за наслідками спостереження.
Одним з методів дослідження гравітаційного поля планети з космічного простору є метод диференціальних спостережень системи «супутник-супутник» з відповідним коректуванням орбіти за наслідками спостережень. Нарешті, рух супутника «вільного від зносу» здійснюється за допомогою компенсації негравітаційних сил (атмосферного тертя) силою тяги, яка, у свою чергу, регулюється на підставі свідчень бортового акселерометра, тобто на основі спостережень за негравітаційними силами.
Приведений перелік завдань, які можуть виникнути при астродинамічних і космічних дослідженнях і зводяться до завдань управління і спостереження, далеко не повний. Формулювання конкретних проблем не входить в наше завдання. Предметом вивчення в нашому курсі є алгоритм обробки інформації найзагальнішого типу.
Надалі використовуватимемо наступні позначення:
п-мірний вектор стану динамічного об'єкту (системи), тобто перелік його параметрів (узагальнених координат), які повністю характеризують положення, рух. Взаємодія між окремими частинами об'єкту
z(t)- m- мірний вектор спостережень, перелік змінних, залежних від вектора стани, які можуть бути отримані із спостережень,
результат обробки спостережень, наближене значення вектора стану
і(t) - l - мірний вектор управління динамічною системою, залежний від її стану в даний момент
q(t) - вектор зовнішніх перешкод для динамічного об'єкту
r(t) - вектор погрішностей спостереження.
Під динамічним об'єктом не потрібно розуміти якесь певне космічне тіло. Це може бути і просто математична модель, а під вектором стану розуміється набір різнорідних характеристик цієї моделі.
Керована динамічна система, як правило, описується системою диференціальних рівнянь
, (1)
а спостереження можна записати так
(2)
Поняття управління можна розуміти розширений, включаючи в нього будь-які дії на динамічну систему, у тому числі і зовнішню перешкоду q(t). Шуми спостережень, як правило, входять аддитивно, тому замість (2) слід записати
(3)
Завдання оцінювання вектора стану (наближене визначення за даними спостережень), тобто вирішення системи рівнянь (3) відносне навіть із залученням рівнянь динамічної системи (1) не завжди має однозначне рішення. Наприклад, спостерігаючи тільки променеві швидкості руху штучного супутника навколо планети Марс, ми не можемо визначити орієнтування його орбіти однозначно. Супутник називається «спостереженим». Так само управлінням не завжди досягається бажана зміна вектора стану. Теоретичне обгрунтування критеріїв наблюдаємості і керованості є фундаментальною проблемою в теорії динамічних систем.
Лінійні динамічні системи
Лінійні динамічні системи підкоряються лінійній системі диференціальних рівнянь. Тут, як і надалі, користуватимемося векторно-матричною формою запису
(4)
де G(t)- відома матриця динамічної системи розміру пхп, F(t)-прямоугольная вхідна матриця для сигналу управління розміру п х l.
Векторно-матричне рівняння може бути розписане таким чином
(5)
де 
- елементи матриць Gи F .Якщо ці коефіцієнти - постійні величини, то система називається стаціонарною (інваріантною), інакше - нестаціонарною.
Введемо позначення для оператора диференціювання 
тоді диференціальне рівняння (4) можна переписати так
(6)
Помножимо формально обидві частини рівності (6) на 
(7)
Отримане «вирішення» системи диференціальних рівнянь не що інше, як операторний запис цієї системи. Матрицю 
можна назвати оператором лінійної системи по відношенню до вхідного векторного сигналу 
. Вихідної змінної динамічної системи слід рахувати вектор спостережень 
, (8) де H(t) – відома прямокутна матриця розміру (т х п ), яку можна вважати вихідною матрицею.
Визначимо зв'язок між вхідним сигналом (управлінням і) і вихідним сигналом (спостереженням z):
(9)
Для стаціонарної системи вхідна і вихідна матриці мають постійні елементи. Ігноруючи поки шуми спостережень (r(t)=0), для стаціонарної системи будем мати
. (10)
Матричний оператор вигляду
, (11)
що встановлює зв'язок між вхідним і вихідним сигналами, називають
передавальною функцією. Проілюструємо сказане декількома прикладами.
Приклад 1
Змінні x(t) і і(t) зв'язані між собою диференціальним рівнянням третього порядку
Визначити передавальну функцію.
Рішення. Замінимо операцію диференціювання оператором D і «вирішимо» отриману рівність відносно х
Отже, шукана передавальна функція має вигляд
.
Приклад 2
Диференціальне рівняння, що зв'язує вхідну і вихідну змінні, вказане в Прикладі 1. Представити рівняння третього порядку
системою рівнянь першого порядку. Визначити матричну передавальну функцію. Розглянемо два варіанти.
Варіант 1
Введемо позначення
Диференціальне рівняння приймає вигляд
Таким чином, маємо систему, що складається з трьох рівнянь першого порядку
У матричному вигляді ця система має вигляд 
то мережа 
Отже, оператором системи буде 
Після звернення матриці, отримаємо
.
Помножимо отриманий вираз справа на вхідну матрицю, отримаємо матричну передавальну функцію
.
Бачимо, що отримана передавальна функція відрізняється від тієї, яку ми
отримали в першому варіанті, оскільки ми змінили позначення для вектора стану. Проте, позначення для ми зберегли, залишилася незмінною і передавальна функція для цієї компоненти.