Короткі теоретичні відомості. Функція вигляду F(x)=P(x)/Q(X), де P(x) і Q(x) – многочлени називається дробово – раціональною, або раціональним дробом
Функція вигляду F(x)=P(x)/Q(X), де P(x) і Q(x) – многочлени називається дробово – раціональною, або раціональним дробом. Дріб правильний , якщо степінь многочлена P(x) нижчий за степінь Q(x). Якщо дріб неправильний, з нього виділяють цілу частину (многочлен), ділячи чисельник на знаменник: 
.
Правильний дріб можна подати у вигляді суми скінченого числа елементарних дробів типу:
I) 
; II) 
; III) 
; IV) 
, де n>1 – натуральне число, 
.
Інтеграли від елементарних дробів обчислюємо за формулами:
I. 
. (1)
II. 
. (2)
III. Якщо чисельник дробу пропорційний похідній знаменника, то інтеграл обчислюють за формулою 
. (3)
В іншому разі чисельник розкладають на суму двох доданків, один з яких пропорційний похідній тричлена, а другий – сталій. Тоді інтеграл записуємо у вигляді суми двох інтегралів, перший з яких обчислюємо за формулою (3), а другий зводимо до інтеграла 
, виділенням повного квадрата з тричлена.
IV. Інтеграл від цього дробу зводиться до двох інтегралів, перший з яких табличний типу 
, а другий 
. Останній шляхом (n-1)- кратного інтегрування зводиться до табличного 
за допомогою рекурентної формули 
(4)
Отже, інтегрування кожного раціонального дробу можна звести до інтегрування суми елементарних дробів за таким правилом:
1. Якщо дріб неправильний то, виділивши цілу частину , записати його у вигляді 
.
2. Розкласти знаменник 
.
3. Зобразити дріб 
у вигляді суми елементарних дробів 
,
де А1,...,Ak,…,B1,C1,…,B2,C2,…- деякі сталі ,k,…, 
,…-натуральні числа, більші за одиницю, причому 
.
4. Обчислити невизначені коефіцієнти А1, ... , Сl. Для цього потрібно звести останню рівність до спільного знаменника, і прирівняти чисельники в обох частинах рівності. Невідомі коефіцієнти можна обчислити двома способами: а) прирівнюванням коефіцієнтів при однакових степенях 
в обох частинах рівності; б) наданням змінній конкретних значень. Часто застосовують комбінацію цих способів; залишається розв’язати систему лінійних рівнянь з 
невідомими A1,...
5. Обчислити заданий інтеграл, використовуючи схему розкладу і значення невідомих коефіцієнтів.
Приклад. Обчислити інтеграл 
.
Виділимо частину підінтегрального дробу 
.
Розкладемо знаменник на множники:
x3-x=x(x-1)(x+1). Зобразимо дріб 
у вигляді суми елементарних дробів 
.
Останню рівність зведемо до спільного знаменника і прирівняємо чисельники: 
.
Оскільки числа 0,1,-1 є коренями знаменника, то коефіцієнти А, В, С зручно обчислити підставляючи саме ці значення 
в останню рівність. При х=0 дістаємо 
тобто А=-1; при х=1 маємо 3=2В, тобто В=3/2 ; при х = -1 дістаємо 3=2С , C=3/2.
Обчислюємо заданий інтеграл , враховуючизначення заданих коефіцієнтів і попередній розклад: 
. 
Питання для контролю вивченого матеріалу
1. Яка функція називається дробово – раціональною?
2. Які типи елементарних дробів ви знаєте?
3. За якими формулами обчислюється інтеграл від елементарних дробів?
4. До якого правила можна звести інтегрування кожного раціонального дробу?
5. Обчислити інтеграл 
.
Література
1. Соколенко О.І. Вища математика: Підручник. – К.: Видавничий центр „Академія”, 2002. – 432 с.
2. Дюженкова Л.І., Носаль Т.В. Вища математика: Практикум: Навч. посібник – К: Вища школа, 1991. – 407 с.:іл.