Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку
В практичних дослідженнях про тісноту кореляційної залежності судять по значенню вибіркового коефіцієнта кореляції . Оцінка
величина випадкова. Нехай
. В цьому випадку перевіряється гіпотеза
про відсутність лінійного кореляційного зв’язку між змінними в генеральній сукупності. Якщо ця гіпотеза справедлива, то статистика
має
- розподіл Стьюдента з
степенями вільності. Гіпотеза
відкидається, якщо
, де
- табличне значення
- критерію Стьюдента, що визначається на рівні значущості
при кількості степенів вільності
.
◄Приклад 6.3 Перевірити на рівні =0,05 значущість коефіцієнта кореляції між змінними Х та Y за даними табл. 6.1.
Розв’язання. В прикладі 6.2 обчислено коефіцієнт кореляції . Статистика критерію
. Для рівня значущості
=0,05 і кількості степенів вільності
знаходимо критичне значення статистики
. Оскільки
, то коефіцієнт кореляції між добовим виробітком продукції Y і величиною основних виробничих фондів Х значно відмінний від нуля.►
Для значущого коефіцієнта кореляції доцільно знайти довірчий інтервал, який із заданою надійністю
накриває невідомий генеральний коефіцієнт кореляції
. Для побудови такого інтервалу використовують спеціально підібрані функції від
, які збігаються до добре відомих розподілів. Найчастіше використовують
- перетворення Фішера:
(6.20) Розподіл
вже при невеликих n є приблизно нормальним з математичним сподіванням
і дисперсією
.
Спочатку будується довірчий інтервал для :
, де
- нормоване відхилення
, що визначається за допомогою функції Лапласа:
.
Для визначення границь довірчого інтервалу для існують спеціальні таблиці. За їх відсутності користуються формулою
.
Якщо коефіцієнт кореляції значущий, то коефіцієнти регресії і
також значно відрізняються від нуля, а інтервальні оцінки для відповідних генеральних коефіцієнтів регресії
і
можуть бути отримані за формулами, що спираються на те, що статистики
,
мають t-розподіл Стьюдента з (n-2) степенями вільності:
(6.21)
(6.22)
- перетворення Фішера може бути застосовано при перевірці різних гіпотез відносно коефіцієнта кореляції. Наприклад, для перевірки значущості розбіжностей двох коефіцієнтів кореляції
і
, отриманих за вибірками об’ємів
і
для перевірки нульової гіпотези
застосовується статистика (6.23)
Приклад 6.4 За даними таблиці 6.1 знайти з надійністю 0,95 інтервальні оцінки (довірчі інтервали) параметрів зв’язку між добовим виробітком продукції Y і величиною основних виробничих фондів X.
Розв’язання . Оскільки коефіцієнт кореляції X і Yзначущий (див. приклад 6.3), то побудуємо довірчий інтервал для генерального коефіцієнта кореляції ρ, застосовуючи - перетворення Фішера:
. За таблицею функцій Лапласа і за умови
, знаходимо
. Побудуємо довірчий інтервал для M(z):
, або
. Знаходимо границі довірчого інтервалу для ρ, використовуючи спеціальну таблицю чи формулу:
.
Генеральний коефіцієнт кореляції ρ на рівні значущості 0,05 (з надійністю 0,95) накривається знайденим інтервалом.
Тепер побудуємо довірчі інтервали для генеральних коефіцієнтів регресії і
. Спочатку визначимо середнє квадратичне відхилення змінних:
;
.
Тепер за (6.21): .
Або .
Аналогічно за (6.22): ►.
При змістовній інтерпретації параметрів ρ, слід врахувати в першу чергу їх інтервальні ( а не тільки точкові ) оцінки.
◄Приклад 6.5 При дослідженні зв’язку між продуктивністю праці і рівнем механізації робіт на підприємствах однієї галузі промисловості, що розташовані в двох різних районах держави, обчислені коефіцієнти кореляції і
за вибірками об’ємів відповідно
і
. З’ясувати, чи є на рівні значущості
суттєві розбіжності в тісноті зв’язку між змінними, що розглядаються на підприємствах галузі в цих районах.
Розв’язання. Гіпотеза, що перевіряється . Альтернативна гіпотеза
. Статистика обчислюється за формулою (6.23):
.
. Отже, гіпотеза
не відкидається, тобто немає підстав вважати розбіжності суттєвими.►