Исследования устойчивости ламинарных течений

В ламинарных движениях вязкой жидкости траектории частиц, линии тока, поля скоростей и давлений имеют определенный, регулярный характер. Такие движения достаточно хорошо описывались соответствующими уравнениями (для ньютоновских жидкостей это уравнения Навье - Стокса) при заданных начальных и граничных условиях. Полученные решения позволяли рассчитать характеристики течения, которые очень хорошо подтверждались опытными данными [3].

В реальных условиях имеются малые по величине случайные отклонения или возмущения. Если эти малые возмущения слабо изменяют рассматриваемые движения, то говорят, что движение устойчиво по отношению к малым возмущениям. Если эти возмущения полностью искажают течение, то считают, что движение неустойчивое.

В неустойчивых движениях малые вначале возмущения растут, существенно изменяя характер начального движения и способствуют его переходу либо к новому устойчивому движению, если таковое имеется среди возможных решений уравнений движения, либо к некоторому хаотическому, образованному нерегулярно движущимися и взаимодействующими между собой жидкими массами.

Такая форма движений вязкой жидкости, широко распространенная в природе и технических устройствах, называется турбулентными движениями.

Раньше всего явление турбулентности было обнаружено при исследовании течений воды в круглой цилиндрической трубе английским физиком О. Рейнольдсом.

В этих опытах Рейнольдс впервые обнаружил, что переход ламинарного движения в турбулентное обусловливается достижением критического значения некоторого безразмерного числа, или критерия, которое в дальнейшем получило его имя. По опытам самого Рейнольдса критическое число оказалось равным Re_кр= (υ_срd/ν)_кр = 1,3∙10⁴. Впоследствии им же было открыто существование такого нижнего критического значения Re_кр приблизительно равно 2000, что при Re < Re_кр движение в трубе оставалось ламинарным, каковы бы ни были введенные в течение возмущения. Также было замечено, что путем удаления возмущений на входе в трубу или уменьшение их начальной интенсивности можно искусственно затянуть ламинарное движение в область значительно больших значений числа Рейнольдса. В частности, значение 1,3∙10⁴, полученное Рейнольдсом, объяснялось наличием плавного входа в трубу в его опытах. Верхняя граница критического числа Рейнольдса в дальнейших опытах и другими исследователями была доведена до числа 5∙10⁴. Конечно, такое затянутое ламинарное движение не терпит появления даже очень небольших возмущений и сразу же переходит в турбулентное.

Заметим, что на критическое число Re_кр сильно влияет отклонение трубы от цилиндричности, т.е. диффузорность или конфузорность трубы. Так, в сходящихся трубах (конфузорах) Re_кр превышает соответствующее число для цилиндрической трубы и, наоборот, в расширяющихся каналах (диффузорах) Re_кр сравнительно мало. Отметим, что встречающаяся на практике шероховатость стенок не влияет на значение критического числа Рейнольдса, что и естественно, так как нижнее число Рейнольдса связано с устойчивостью потока, а не с наличием или отсутствием возмущений в нем.

Математическая теория устойчивости ламинарных течений в настоящее время хорошо разработана. В русском переводе имеется монография: Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости, которая освещает состояние этого вопроса в простом и ясном изложении и с большим числом самых разнообразных приложений, включая магнитогидродинамические и вязкоупругие течения, а также течения газа со взвешенными в нем твердыми частицами [14].

Простейшим разделом общей теории устойчивости ламинарных движений является теория устойчивости ламинарного потока по отношению к малым возмущениям. Эта линейная теория получила наибольшее развитие и излагается во многих специальных курсах и монографиях [4, 11].

Развивается также нелинейная теория гидродинамической устойчивости. Эта часть теории устойчивости также пользуется методами теории колебаний, но изучает развитие возмущений конечной амплитуды. Но вопрос об устойчивости ламинарного движения относится лишь к начальной стадии явления перехода от ламинарного движения к турбулентному. Основное значение приобретают собственно переходные явления, представляющие развитие тех случайных возмущений, которые существовали в потоке до потери им устойчивости или в момент потери устойчивости, но заметно возросли только после потери устойчивости и привели в конечном счете к развитому турбулентному движению.

Исследования в этом направлении показывают, что нелинейные эффекты в вязких потоках крайне своеобразны. Чрезвычайно характерны в этом смысле явления, возникающие в круглой трубе при переходе числа Рейнольдса через критическое значение. Явления эти свойственны и другим случаям ламинарного движения вязкой жидкости, в частности куэттовскому движению между движущимися параллельными плоскостями, между поверхностями вращающихся соосных цилиндров и в пограничных слоях.

При входе в начальный участок трубы поток несет возмущения разнообразной природы. Это могут быть либо возмущения, пришедшие извне, например из помещения, в котором расположена всасывающая воздух труба, или из резервуара с водой, вытекающей через трубу, либо возмущения, образовавшиеся из – за неплавности входа в трубу. Последняя причина обычно бывает доминирующей. Как упоминалось выше, уже Рейнольдс в своих первых опытах заметил, что при значениях Re, еще далеких от критических, по прямолинейным струйкам краски в начальном участке трубы пробегают дискретные волны или группы волн, затухающие вниз по течению. Эти накладывающиеся на ламинарный поток возмущения по мере приближения к его критическому состоянию становится все более интенсивными и расплывчатыми, пока, наконец, не заполнят всю область течения и поток станет полностью турбулентным.

Было отмечено последующими исследователями (Л. Шиллер и др.), что первичное возникновение этих сравнительно редких по частоте появления возмущений не оказывают влияния ни на профили скоростей в сечениях трубы, ни на общее сопротивление трубы. Только в непосредственной близости к кризису влияние этих волн становится заметным: искажаются профили скоростей, изменяется закон сопротивления.

Тщательное исследование потоков в трубе при числах Рейнольдса, близких к критическим, показало, что в одном и том же фиксированном сечении трубы и при том же значении числа Рейнольдса Re = u_срd/v может происходить чередование ламинарных и турбулентных режимов. Это явление получило наименование перемежаемости. Причина перемежаемости режимов течения заключается в том, что турбулентность, как показали тщательные опыты, образуются в начале в дискретных областях потока в виде «облачков» или «пятен», в случае трубы заполняющих поперечное сечение трубы «пробками», которые могут достигать протяженности вдоль трубы порядка нескольких диаметров трубы, причем эта протяженность зависит от числа Рейнольдса потока.

Основной количественной характеристикой явления перемежаемости служит доля времени существования турбулентного режима в данном сечении трубы. Эту безразмерную величину равную нулю, если течение все время ламинарное, и единице, если течение сохраняет турбулентную форму, называют «коэффициентом перемежаемости» и обозначают буквой γ. Величина эта зависит как от числа Рейнольдса потока, так и от расстояния х от входа в трубу. Коэффициент перемежаемости резко возрастает в области критического значения числа Рейнольдса, причем в ближних к входу сечениях позже, чем в дальних. На рис. 6.1 кружками, не связанными с кривой, показан профиль скоростей при Re = 2550 и γ = 0,7. Там же приводятся относящиеся к тому же числу Рейнольдса профили скоростей: при ламинарном режиме (γ = 0, сплошная кривая – парабола Пуазейля, светлые кружки) и при турбулентном режиме (γ = 1, штриховая кривая, треугольники) [3].

Рис. 6.1.

Отметим важный факт выравнивания профиля скоростей при переходе от ламинарного режима к турбулентному. При этом на оси трубы скорость уменьшается, а на некотором фиксированном расстоянии от стенки трубы, наоборот, увеличивается. Помещая измеритель скорости на определенном небольшом расстоянии от стенки, можно по увеличению скоростного напора судить о переходе от ламинарного движения к турбулентному. Такой прием с успехом применяется при экспериментальном исследовании перехода в пограничном слое. Более точное исследование перемежаемости связано с изучением возникновения и развития пульсации скорости в потоке при помощи осциллографической записи показаний термоанемометра.