Алгебра, многочлены и делимость чисел
Задача 1Доказать, что для многочлена с любым целым
найдется такое целое
, что соответствующее значение этого многочлена не является квадратом целого числа.
Доказательство
Допустим противное. Тогда пусть
. Отсюда
. Складывая эти два равенства, получим
. При
получим
. Это равенство невозможно в целых числах: Действительно, Если
, то
- не целое. Если
, то
- не целое. Если
, то
- не целое. Если
, то
, что невозможно. Если
, То
, что
тоже невозможно, поскольку квадрат целого числа неотрицателен.
Ч.Т.Д.
Замечание
Эта задача родилась, как упрощенный вариант следующей
проблемы, сформулированной автором:
Пусть многочлен второй степени с целыми коэффициентами
при любом целом
принимает значение квадрата целого числа. Тогда найдутся такие целые числа
,
, что выполняется тождество
. Достаточность условия– очевидна:
если - целые, то найдутся целые
, для которых выполняется
указанное тождество. Для этого достаточно раскрыть скобки и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях . Трудно
доказать необходимость!
Задача 2Доказать, что для многочлена с любым целым
, найдется целое
, такое, что соответствующее значение этого многочлена не является кубом целого числа.
Доказательство
.
. Складывая эти два равенства, получим:
при любых целых
.
~ или
, где
- неотрицательные целые.
Причем - как значения многочлена третьей степени -
неограниченные целые, неотрицательные числа.
Поэтому равенство отпадает.
Рассмотрим равенство , где
- целые неотрицательные числа. Докажем, что
- ограничено.
.
,
,
,
.
. Поэтому
.
. Отсюда
- ограничено. Противоречие. Ч.Т.Д.
Замечание
Эта задача родилась, как упрощенный вариант следующей
проблемы, поставленной автором:
Пусть многочлен третьей степени с целыми коэффициентами
, при любом целом
принимает значение куба целого числа. Тогда найдутся такие целые числа
,
, что выполняется тождество
. Достаточность условия– очевидна: если
- целые, то найдутся целые
,
для которых выполняется указанное тождество. Для этого достаточно раскрыть скобки и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях
. Трудно доказать необходимость!
Задача 3Доказать, что для многочлена с любыми заданными
натуральным
и целым
, найдется такое целое
, что соответствующее значение этого многочлена не является
- ой степенью натурального целого числа.
Доказательство
Предположим противное. Тогда при целых
.
Причем - целые, неограниченные величины
I. - нечетно
. Складывая эти равенства, получим:
. (*)
Причем оба слагаемых в последнем равенстве, как многочлены - й степени принимают неограниченные целые значения по абсолютной величине, при целых
. То есть равенство
(*) имеет неограниченное число решений в целых числах.
При достаточно больших значение
становится больше двух. Следовательно,
. Поэтому, полагая при больших
,
, получим равенство
. Отсюда
,
,
.
так как при больших
. Получено
. Это Противоречие.
II четно.
Тогда
. Складывая эти равенства, получим:
При
.
- четно
Или , (**)
Где .
Из (**) следует, что
.
,
,
.
. Противоречие. Ч.Т.Д.
Замечание 1
Эта задача зародилась, как упрощенный вариант следующей
проблемы, поставленной автором:
Доказать (или опровергнуть) утверждение:
Пусть многочлен -ой степени с целыми коэффициентами
, при любом целом
принимает значение
-ой
степени целого числа. Тогда найдутся такие целые числа ,
, что выполняется тождество
при всех
Достаточность условия– очевидна: если - целые, то найдутся целые
, для которых выполняется указанное тождество. Для этого достаточно раскрыть скобки и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях
. Трудно доказать необходимость, то
есть решить эту трудную проблему.
Замечание 2. Напрашивается вопрос: Сколько решений в целых числах имеет уравнение c известными целыми
.
Решение ,
- при четном
или
,
при нечетном
очевидно. Есть ли другие решения при
?
Тема 3
Арифметика
Задача 1Доказать, что число 23 и 115 нельзя представить в виде суммы кубов натуральных чисел, если
, но можно это сделать при
.
Решение
В условии обнаружена ошибка.
, то есть достаточно и
кубов, а
.
Пусть - число повторений числа
в разложении числа на сумму кубов. Если число
не встречается в разложении числа на сумму
кубов, то . Тогда
. Так как
, то
при
. Значит
.
.
Иначе , что невозможно
При
.
. 9 кубов.
При
. При
. Утверждение доказано для числа 23.Меньше 9-ти кубов не получается для 23.
Для числа 115 имеем, аналогично, . Так как
, то
, при
. Значит,
.
, так как
. Следовательно,
или
I.
. Тогда
,
Отсюда .
или
.
Если , то
.
.
Если , то
,
,
. Получено разложение в сумму пяти кубов. Докажем, что меньше пяти кубов быть не может.
Если , то
,
.
Если , то
,
.
При
.
При
II.
Имеем, . При
.
, так как
.
При имеем
, тогда
,
,
,
При
,
При
, если
.
Если же при
, то
,
,
Так как . Поэтому
. Мы доказали, что разложение на 5 кубов единственное и что в 4 куба разложения
не существует.
Напрашиваются общие вопросы:
Сколько минимум кубов достаточно, чтобы разложить заданное число на сумму кубов? Сколько минимум кубов достаточно взять, чтобы разложить любое натуральное число на эту сумму кубов?
Любое натуральное число можно разложить в сумму кубов, например . Интересно выяснить в общем виде достаточное наименьшее количество слагаемых. Тот же вопрос к сумме любой степени, начиная с трех.
Задача 2 Доказать, что числа 31 и 79 нельзя представить в виде суммы четвертых степеней натуральных чисел, если
( ), но можно это сделать при
(
).
Доказательство
Пусть - число повторений числа
в разложении числа на сумму кубов. Если число
не встречается в разложении числа на сумму
кубов, то . Тогда
. Так как
, то
при
. Значит,
. Итак,
. Отсюда
.
Если , то
.
. Если
, то
. Утверждение доказано.
.
. Значит при
. Поэтому
. Тогда
.
.
.
Если , то
.
,
.
.
Если то
.
.
Утверждение доказано
Задача 3Доказать, что число 223 нельзя представить в виде суммы пятых степеней натуральных чисел, если
, но можно это сделать при
.
Доказательство
Пусть - число повторений числа
в разложении числа на сумму пятых степеней натуральных чисел. Если число
не встречается в разложении числа на сумму пятых степеней натуральных чисел
, то . Тогда
. Так как
, то
при
. Значит,
. Тогда
.
- целое.
. Если
, то
.
Значит или
. Если
, то
,
,
. То есть разложение числа 223 в сумму 37 пятых степеней получено. Если же
, то
, что невозможно. Если же пятых степеней двойки нет, то число степеней равно
. То есть меньшего количества пятых степеней, чем 37 в разложении числа 223 быть не может. Ч.Т.Д.
II. Высшая математика
Тема 4 Линейная алгебра
(матрицы, определители, системы уравнений)
Задача 1Доказать, что любую квадратную матрицу второго порядка можно представить в виде суммы двух матриц с определителями, равными нулю.
Доказательство
.
,
Замечание
Ясно, что порядок квадратной матрицы не играет никакой
роли, если он . Действительно, в первом слагаемом у исходной
матрицы обнулим последний столбец матрицы, а во втором слагаемом – обнулим у исходной матрицы все столбцы, кроме последнего.
Задача 2Доказать, что любую квадратную матрицу третьего порядка можно представить в виде суммы двух матриц с определителями, не равными нулю.
Доказательство
Сначала разберемся с матрицей второго порядка.
Возьмем тождество:
- многочлен второй степени от со старшей степенью
.
- - многочлен второй степени от со старшей степенью
.
Определители обращается в ноль не более в двух значениях
. Определители
тоже обращается в ноль не более в двух значениях
. Выбирая любое
, отличное от корней многочленов
. (а их всего не более 2+2=4) получается решение.
Теперь рассмотрим матрицу третьего порядка, используем аналогичную идею. Запишем аналогичное тождество
.
Нетрудно увидеть, что , (*)
где . У нас в определителях слагаемых матриц появятся два многочлена третьего порядка в качестве определителей матриц слагаемых
и
. Каждый из этих многочленов имеет
конечное число корней. Выбираем любое значение , отличное от
этих корней (а число различных корней в сумме не больше шести). Подставляем его в тождество. Получается нужное представление.
Замечание. Совершенно аналогично в случае квадратной матрицы -го порядка. Будут фигурировать два многочлена
- й степени –
определители матриц и
. В этом случае выбираем
, отличное от корней этих многочленов (их число не больше, чем
), и подставляем его в тождество
.
Задача 3Доказать (или опровергнуть) утверждение: уравнение
имеет решение для любых квадратных матриц .
Решение
Чтобы опровергнуть утверждение достаточно найти хотя бы один опровергающий пример.
В уравнении в выражении слева , похоже, есть симметрия,
А справа может ее и не быть.
Докажем, что произведение матрицы на транспонированную к ней
матрицу - есть симметричная матрица.
.
. Тогда
Доказано. Значит, , Применим известное свойство матриц:
.
. Последнее равенство не выполняется для несимметричных матриц, например
,
. Утверждение опровергнуто.
Задача 4 ;
. Решить систему
и найти число точек
, удовлетворяющих этой системе и лежащих на сфере
(здесь
- ранг соответствующей матрицы).
Решение
~
~
. Две ступеньки есть
Значит, .
, иначе
. Поэтому
.
~
Две ступеньки есть, поэтому
.
, иначе
. Поэтому
. Решаем систему
.~
~
.
.
. Отсюда
. Ответ: решение системы
; две точки на сфере.
Тема 5
Векторная алгебра
Задача 1Пусть . Доказать, что
Доказательство
Выразим через
и
:
и подставим в равенства.
.
. Поэтому
. Ч.Т.Д.
Задача 2Пусть в треугольнике
,
, и
Доказать, что - равносторонний
Доказательство
.
.
.
.
Отсюда tg
tg
, Углы при любом основании равны. Значит и все
стороны равны. Поэтому треугольник равносторонний. Ч.Т.Д.
Задача 3
Доказать, что если вершина
- угольной призмы имеют целочисленные координаты, то ее удвоенный объем – целое число.
Решение
В условии обнаружена ошибка. Действительно, при ,
. призма треугольная. Если 4 заданные точки лежат на одной грани, то объем призмы зависит от оставшихся двух вершин и может быть любым. Если же в условии заменить
на
, то неизвестно только про одну вершину – целые ли у нее координаты. Однако вектор, соответствующий боковому ребру, но выходящий из другой вершины этой грани, - целочисленный. Поэтому и координаты не заданной вершины тоже целочисленны. Площадь основания складывается из площадей треугольников образованных после проведения всех диагоналей из одной вершины. Векторы диагоналей и двух сторон
- угольника , все вершины которого заданы– целочисленные. Вектор бокового ребра – целочисленный. объем пирамиды равен
.
- целое.
. Поэтому
- целое число.,
Ч.Т.Д. Замечание. В связи с ошибкой в условии, естественно
возник вопрос: сколько вершин достаточно задать в -угольной призме, чтобы все недостающие вершины можно было восстановить?
Тема 6