Свойство единичной матрицы
Лекция 2
Действия с матрицами
Определение 2.1.
Две матрицы одинакового порядка называются равными, если равны все их соответствующие элементы.
Замечание 1. Две неравные квадратные матрицы одинакового размера могут иметь одинаковые определители.
; 
.
Определение 2.2.
А) Суммой матриц одинакового размера 
и 
называется матрица 
, полученная поэлементным сложением данных матриц.
Б) Произведением матрицы на число 
называется матрица 
, полученная умножением всех элементов матрицы на число .
Замечание 2. Сложение матриц и умножение матрицы на число называются линейными операциями с матрицами.
Замечание 3. В отличие от матриц, в определителе не все его элементы, а элементы только одной строки (столбца) умножаются на число .
Суммы матриц разного порядка не рассматриваются.
Примеры 2.1.
1) 
, 
;
.
2) 
, 
;
.
Свойства линейных операций с матрицами
Пусть А, В, С – матрицы одинакового размера, 
- числа
- переместительное свойство сложения матриц (коммутативность);
- сочетательное свойство сложения матриц (ассоциативность);
- ассоциативность умножения матрицы на число;
- распределительное свойство умножения матрицы на число относительно суммы чисел (дистрибутивность);
- дистрибутивность умножения матрицы на число относительно суммы матриц.
Докажем свойства (3) и (5) (остальные доказываются по аналогии).
Доказательства.
. Пусть 
и 
, тогда
.
Здесь использовались: определение 2.2(б), свойство умножения матрицы на число.
. Пусть и . Тогда
Благодаря этим свойствам при выполнении многих операций с матрицами можно обращаться как с обычными числами.
Определение 2.3.
Произведением матрицы на матрицу 
называется матрица 
с элементами:
, 
, 
(2.1),
( 
- сумма произведений элементов 
-ой строки первой матрицы на соответствующие по порядку элементы 
-го столбца второй матрицы).
Замечание 4:
А) Согласно этому определению, умножать можно только такие две матрицы, когда число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй. Произведение имеет столько строк, сколько первая матрица, и столько столбцов, сколько вторая.
В противном случае произведение не определено.
Б) Произведение матриц не является линейной операцией.
С) Операция умножения матриц некоммутативна.
Обозначение: 
.
Примеры 2.2.
1) Пусть 
.
2)Пусть 
, 
. Показать, что 
.
2.3. Свойства умножения матриц
Пусть, размеры матриц 
таковы, что произведения матриц имеют смысл..
1) 
– ассоциативность умножения;
2) 
– дистрибутивность умножения матриц относительно суммы матриц;
Определение 2.4.
Квадратная матрица 
называется единичной матрицей.
Очевидно, что det Е=1.
Свойство единичной матрицы
, (2.2)
(2.2’)
для матрицы 
размера 
(равенство (2.2))
или размера 
(равенство (2.2’))
и единичной матрицы 
размера
.
Определение 2.5.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей.
.
Очевидно, что 
, 
.
Понятие обратной матрицы
Определение 2.6.
Квадратная матрица 
называется обратной по отношению к матрице , если выполняется равенство 
, где – единичная матрица.
Определение 2.7.
Квадратная матрица называется невырожденной, или неособенной, если 
. Если 
, то матрица называется вырожденной (особенной).
Теорема 2.1.
Всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу, определяемую формулой:
(2.3)
Замечание 5.
В равенстве (2.3) матрица
получена из матрицы 
заменой ее элементов на соответствующие алгебраические дополнения и последующим транспонированием. Такая матрица 
называется присоединенной (союзной) матрицей для матрицы .
Таким образом,
.
Доказательство.
По определению 2.6 
.
.
Но здесь 
– есть разложение определителя 
по его первому столбцу, потому является значением . Таковы же все элементы
главной диагонали. Так, 
– есть разложение определителя по 
-тому столбцу. Значит, все элементы главной диагонали равны .
Все элементы вне главной диагонали представляют собой суммы произведений элементов какого-либо столбца определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца и потому равны нулю.
Значит, .
Пример 2.3.
Для матрицы 
найти обратную матрицу.