![]() |
![]() |
Категории: АстрономияБиология География Другие языки Интернет Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Механика Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Транспорт Физика Философия Финансы Химия Экология Экономика Электроника |
Диагональная матрица имеет вид2. 1. Системы двух и трех линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными.
Линейным уравнением первой степени с
Совокупность
Числа Линейная система называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю и неоднородной, если хотя бы один ее свободный член отличен от нуля. Решением линейной системы (2) называется такая совокупность
Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Запишем линейную систему двух уравнений с двумя неизвестными в следующем виде:
Чтобы решить эту систему введем три определителя второго порядка
Определитель
Для решения системы (6) рассмотрим три случая: 1)
Формулы (7) дают единственное решение линейной системы (3) и носят название формул Крамера для решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. 2) Пример. Решить системы уравнений: Решение. Вычислим определители а) Так как Рассмотрим системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными
Чтобы найти решение системы (8) введем четыре определителя третьего порядка:
Определитель При
Формулы (14) называются формулами Крамера для решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Примеры. Решить системы уравнений: Решение. 1) Имеем:
Формулы (14) дают:
1. Действия над матрицами. Множество чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы
имеющей m строк и n столбцов, называется прямоугольной матрицей размера m Числа, составляющие матрицу (1), могут быть как комплексными, так и вещественными и называются ее элементами. Матрица называется в е щ е с т в е н н о й, если все ее элементы – вещественные числа. Мы будем рассматривать, как правило, вещественные матрицы. Если m=n , то матрица (1) называется к в а д р а т н о й матрицей порядка n. Например, матрица имеет размер 2 является квадратной матрицей порядка 2. Квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные вне г л а в н о й диагонали, идущей с левого верхнего угла в правый нижний, равны нулю, называется д и а г о н а л ь н о й матрицей. Диагональная матрица имеет вид У диагональной матрицы все элементы с неравными индексами равны нулю, то есть Диагональная матрица называется единичной матрицей и обозначается буквой Е Для обозначения матриц будем использовать также прописные буквы латинского алфавита A, B, C, …, X,Y, … . Матрица A= ( с т р о ч н о й матрицей длины n или в е к т о р – с т р о к о й; матрица B= состоящая из одного столбца, называется с т о л б ц о в о й матрицей высоты m или в е к т о р – с т о л б ц о м. Сложение матриц и умножение матрицы на число Определение. Суммой двух матриц А и В одного и того же размера называется матрица С=А+В того же размера, элементы которой равны суммам соответствующих элементов данных матриц, то есть если А= Пример. Пусть А= Тогда С=А+В= Определение. Произведением матрицы А=(аij) на число Произведение матриц Определение. Произведением матрицы А=(аij) размера m сij= (i=1,2,…,m, j=1,2,…n). Согласно этому определению, произведение двух матриц имеет смысл только тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Отсюда, квадратные матрицы одного и того же порядка всегда можно перемножить. В общем случае умножение двух матриц зависит от порядка сомножителей, то есть оно некоммутативно: АВ Отметим легко проверяемое тождество: АЕ=ЕА=А, справедливое для любой квадратной матрицы А и единичной матрицы Е того же размера, что и матрица А. Примеры.
|