![]() |
![]() |
Категории: АстрономияБиология География Другие языки Интернет Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Механика Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Транспорт Физика Философия Финансы Химия Экология Экономика Электроника |
Линейные действия над матрицамиЛекция 4 Раздел 3. Матрицы. Первоначальные сведения о матрице. Определение 1. Прямоугольной, или
Размер матрицы А обозначается символом: Например, матрица имеет размер Определение 2.Матрица называется комплексной, если хотя бы один ее элемент является комплексным числом, и действительной, если все ее элементы – действительные числа. Пример.
В учебной и математической литературе встречаются следующие обозначения матриц: Матрицы А и В имеют одинаковый размер, т.е. Определение 3.Матрицы А и В называются равными, если Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой:
Матрица, имеющая лишь один столбец, называется матрицей-столбцом:
Матрица, состоящая из нулей, называется нулевой. Нулевые матрицы разных размеров принято обозначать одним и тем же символом О, что не приводит к недоразумениям. Линейные действия над матрицами. Определение 1. Пусть матрицы А, В и С такие, что Пример. а) б) Определение 2. Матрица Пример. Если Свойства операции сложения матриц. Для матриц А, В, С, О таких, что 1. 2. 3. 4. Сложение матриц обладает обратной операцией – вычитанием. Определение 3. Пусть матрицы А, В и С такие, что Пример. а) б) Определение 4. Пусть матрицы А и В такие, что Пример. Свойства операции умножения матрицы на число. Для матриц А и В таких, что 1. 2. 3. 4.
Умножение матриц. Определение 1.Матрица А называется согласованнойс матрицей В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, т.е. Из согласованности матрицы А с матрицей В, не следует согласованность матрицы В с матрицей А. Пример. Матрица А согласована с матрицей В (А имеет 3 столбца, В – 3 строки), но матрица В не согласована с матрицей А (В имеет 3 столбца, А – 3 строки). Определение 2. Пусть матрица А согласована с матрицей В, т.е.
Пример. 1)
Оба произведения Пример. Для матриц
Вычислим
Из приведенных примеров видно, что если даже оба произведения Свойства операции умножения матриц. 1. 2. 3. Эти свойства доказываются непосредственной проверкой. Докажем, например, свойство 3. Пусть
3.4 Операции над матрицами: транспонирование, комплексное сопряжение, сопряжение по Эрмиту. Определение 1. Транспонированием матрицы А называется операция замены каждой ее строки столбцом с тем же номером. Полученную в результате этой операции матрицу называют транспонированной к матрице А и обозначают через Если А – матрица размера Пример. Запишем транспонированную матрицу: Определение 2. Комплексным сопряжением матрицы А называется операция замены каждого элемента матрицы А на комплексно сопряженный ему элемент. Матрица, полученная в результате этой операции, называется комплексно сопряженной с матрицей А и обозначается Пример. Пусть Представим все элементы матрицы А в алгебраической форме
тогда комплексно сопряженная матрица имеет вид
Определение 3. Сопряженим по Эрмиту матрицы А называется операция сочетающая транспонирование и комплексное сопряжение. Матрица, полученная в результате этой операции, называется эрмитово-сопряженной с матрицей А и обозначается Пример. Пусть тогда Для всех трех операций, непосредственной проверкой, можно доказать следующие свойства: I. II. 1) 2) 3) III. IV. 7) 8) 9)
3.5 Квадратные матрицы. Определение 1. Квадратной матрицей называется матрица А, у которой число строк равно числу столбцов, т.е. В квадратной матрице совокупность элементов на линии, соединяющей верхний левый угол с правым нижним, называют главной диагональю. У элементов главной диагонали номер строки совпадает с номером столбца. Например, у матрицы размера Определение 2.Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, т.е. называют диагональными. Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали одинаковые, называется скалярной. Частным случаем скалярных матриц является единичная матрица
Легко видеть, что Определение 3.Квадратную матрицу называют треугольной, если все ее элементы, стоящие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю. При этом матрицу вида называют верхней треугольной матрицей, а матрицу вида -нижней треугольной матрицей. Определение 4.Квадратную матрицу А называют симметрической, если она не меняется при транспонировании, т.е. Например, рассмотрим матрицу Определение 5. Квадратная матрица А называется кососимметрической, если при транспонировании она меняет свой знак, т.е. Например, для матрицы Определение 5. Квадратная матрица называется эрмитовой, если она равна эрмитово-сопряженной, т.е. Определение 6. Квадратная матрица называется ортогональной, если ее произведение на транспонированную матрицу равно единичной матрице, т.е.
Определение 7. Квадратная матрица называется унитарной, если ее произведение на эрмитово-сопряженную матрицу равно единичной матрице, т.е.
При помощи матриц изучаются свойства различных устройств в электротехнике и технике сверхвысоких частот (СВЧ). В частности, в технике сверхвысоких частот (СВЧ) применяют матрицу рассеяния S, связывающую амплитуды волн, бегущих к устройству
где п – число каналов, по которым волны бегут к устройству или от него. В теории устройств СВЧ доказывается, что необходимым и достаточным условием отсутствия потерь в устройстве служит унитарность матрицы рассеяния. Пример. Проверить, обладает ли потерями устройство, описываемое матрицей рассеяния
Решение. Проверим, будет ли матрица S унитарной. 1. Ищем эрмитово-сопряженную матрицу.
2. Проверяем равенство |