Свойства умножения вектора на число

1о. (k + l) = k + l .

k( + ) = k + k .

2o. k(l ) = (kl) .

3o. 1× = , (–1) × = – , 0 × = .

22) Скалярное произведение векторов, свойства, геометрический смысл, выражение через координаты сомножителей. Геометрическое приложение.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов , обозначается символом (порядок записи сомножителей безразличен, то есть ).

Если угол между векторами , обозначить через , то их скалярное произведение можно выразить формулой

(1)

Скалярное произведение векторов , можно выразить также формулой

, или .

Из формулы (1) следует, что , если - острый угол, , если - тупой угол; в том и только в том случае, когда векторы и перпендикулярны (в частности, , если или ).

Скалярное произведение называется скалярным квадратом вектора и обозначается символом . Из формулы (1) следует, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:

.

Если векторы и заданы своими координатами:

, ,

то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле

.

Отсюда следует необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов

.

Угол между векторами

, ,

дается формулой , или в координатах

.

Проекция произвольного вектора на какую-нибудь ось u определяется формулой

,

где - единичный вектор, направленный по оси u. Если даны углы , , , которые оси u составляет с координатными осями, то и для вычисления вектора может служить формула

.

Свойства скалярного произведения:

1. × =

2. ( + ) =

3.

4.

5. , где – скаляры.

6. два вектора перпендикулярны (ортогональны), если .

7. тогда и только тогда, когда .

Скалярное произведение в координатной форме имеет вид: ,где и .

 


23) Векторное произведение векторов, свойства, геометрический смысл, выражение через координаты сомножителей. Геометрическое приложение.

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор, обозначаемый символом и определяемый следующими тремя условиями:

1). Модуль вектора равен , где - угол между векторами и ;

2). Вектор перпендикулярен к каждому из вектора и ;

3). Направление вектора соответствует «правилу правой руки». Это означает, что если векторы , и приведены к общему началу, то вектор должен быть направлен так, как направлен средний палец правой руки, больой палец которой направлен по первому сомножителю (то есть по вектору ), а указательный - по второму (то есть по вектору ).

Векторное произведение зависит от порядка сомножителей, именно:

.

Модуль векторного произведения равен площади S параллелограмма, построенного на векторах и :

.

Само векторное произведение может быть выражено формулой

,

где - орт векторного произведения.

Векторное произведение обращается в нуль тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны. В частности, .

Если система координатных осей правая и векторы и заданы в этой системе своими координатами:

, ,

то векторное произведение вектора на вектор определяется формулой

,

или

.
Свойства векторного произведения:

1.При изменении порядка сомножителей векторное произведение меняет свой знак на обратный, сохраняя модуль, т.е.

2.Векторный квадрат равен нуль-вектору, т.е.

3.Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения, т.е.

4.Для любых трех векторов справедливо равенство

5.Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов и :

 


24) Смешанное произведение векторов, свойства, геометрический смысл, выражение через координаты сомножителей

Тройкой векторов называются три вектора, если указано, какой из них считается первым, какой вторым и какой третьим. Тройку векторов записывают в порядке нумерации; например, запись , , означает, что вектор считается первым, - вторым, - третьим.

Тройка некомпланарных векторов , , называется правой, если составляющие ее векторы, будучи приведены к общему началу, располагаются в порядке нумерации аналогично тому, как расположены большой, указательный и средний пальцы правой руки. Если векторы , , расположены аналогично тому, как расположены большой, указательный и средний пальцы левой руки, то тройка этих векторов называется левой.

Смешанным произведенем трех векторов , , называется число, равное векторному произведению , умноженному скалярно на вектор , то есть .

Имеет место тождество , ввиду чего для обозначения смешанного произведения употребляется более простой символ . Таким образом,

, .

Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , , , взятого со знаком плюс, если тройка правая, и со знаком минус, если эта тройка левая. Если векторы , , компланарны (и только в этом случае), смешанное произведение равно нулю; иначе говоря, равенство

есть необходимое и достаточное условие компланарности векторов , , .

Если векторы , , заданы своими координатами:

, , ,

то смешанное произведение определяется формулой

.

Напомним, что система координатных осей предполагается правой (вместе с тем является правой и тройка векторов , , ).

25) Виды уравнений прямой на плоскости, способы их задания.

Напомним сведения об уравнении прямой на плоскости. Любое уравнение первой степени относительно неизвестных х и у является уравнением прямой на плоскости: АX + ВY + С = 0 Оно может быть записано в некоторых специальных видах: а) уравнение с угловым коэффициентом у= kx+b , где k - угловой коэффициент, численно равный тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси Ох , а свободный член b - ордината точки пересечения графика и Оу. -отрезок, отсекаемый графиком на оси оу б) уравнение пучка прямых, проходящих через точку (х0 ,у0) у-у0 = k(х-х0 ) в) уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (х1у1) и (х2у2)

 

в)

 

Разберем все эти уравнения, используя вектора. Общее уравнение прямой на плоскости Рассмотрим на плоскости Оху произвольную прямую L. Пусть дана некоторая ее точка М1(х1у1) и вектор N=Ai+Bj, перпендикулярный рассматриваемой прямой. Этот вектор называется нормальным вектором прямой. Точка М1 и нормальный вектор N вполне определяют положение прямой L на плоскости Оху.

 

Пусть М(х,у) - любая точка прямой L (она называется текущей точкой). По условию, вектор N перпендикулярен вектору , лежащему на этой прямой. Поэтому скалярное произведение (N, )=0 , или в координатной форме А(х – х1) + В(у – у1) = 0

 

Произведем преобразования – раскроем скобки: АX + ВY + [-АX1 – ВY1 ] = 0 В квадратных скобках у нас некое число. так как А и В числовые коэффициенты, а х1 и у1 - координаты точки и, если это число обозначим С, то получится общее уравнение прямой на плоскости. АX + ВY + С = 0

26) Виды уравнений плоскости. Способы их задания.

 

 


27) Виды уравнений прямой в пространстве. Способы их задания.

 


28) Условия параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей.

Условие параллельности прямых заключается в равенстве их угловых коэффициентов.

tgφ1=tgφ2 или k1=k2

Условие перпендикулярности прямых заключается в том, что произведение их угловых коэффициентов равно –1

k1k2=-1

Пример 6. Проверить, выполняется ли условие параллельности прямых 2х-3у+1=0 и 4х-6у-5=0 ?

Решение: Угловые коэффициенты этих прямых , т.е. условие параллельности выполнено.

Пример 7. Составить уравнение прямой линии, проходящей через точку (1;2) параллельно прямой 2х-3у+1=0.

Решение. Угловой коэффициент k прямой линии, для которой нужно составить уравнение, равен угловому коэффициенту данной прямой в силу условия параллельности этих прямых. Таким образом, получим искомое уравнение: или, умножая на 3: 3y-6=2(x-1), или 3y-6=2x-2, откуда окончательно находим: 2x-3y+4=0

Пример 8. При каком значении k уравнение y=kx+1 определяет прямую, перпендикулярную к прямой у=2х-1?

Решение: Угловой коэффициент второй прямой k2=2. Условие перпендикулярности дает 2k=-1, откуда

 

 


29) Взаимное расположение прямой и плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве.

Прямая и плоскость в пространстве могут:

а) не иметь общих точек;

б) иметь ровно одну общую точку;

в) иметь хотя бы две общие точки.

На рис. 30 изображены все эти возможности.

В случае а) прямая b параллельна плоскости : b || .

В случае б) прямая l пересекает плоскость в одной точке О; l = О.

В случае в) прямая а принадлежит плоскости : а или а .

Условие перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая и плоскость перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости коллинеарны, т.е. .

Условие параллельности прямой и плоскости. Прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны.

 

Условие параллельности двух плоскостей.

Две плоскости α1 и α2 параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и параллельны, а значит .

Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны:

или