Матричный вид системы линейных уравнений
МАТРИЦЫ
Определение.Матрица Аразмера (m строк, n столбцов) – это таблица чисел вида
(1)
Сокращённые обозначения: ,
- ая строка А, i = 1, 2, … , m,
-ый столбец матрицы А, j = 1, 2, … n,
- элемент матрицы А, находящийся на пересечении i – ой строки и j – го столбца.
При m n A называется прямоугольной матрицей, при m = n A называется квадратной матрицей порядка n.
- множество квадратных матриц порядка n.
Определениеравенства матриц. Пусть
Операции над матрицами
Определение.Пусть . Транспонирование матрицы А – это переход от матрицы А к матрице
размера
вида
,
строки которой – это столбцы матрицы А (см.(1)).
Очевидно, что .
Пример
Определениесуммы матриц.
Пусть Тогда
, то есть сумма матриц А и В одного размера
- это матрица размера
, каждый элемент которой равен сумме элементов матриц А и В, расположенных на одинаковых местах (в i – ой строке и j – ом столбце) в этих матрицах.
Пример
Определениеумножения матрицы на число. Пусть и
Тогда
, то есть для умножения матрицы на число нужно умножить на это число каждый элемент матрицы.
Определениеумножения матриц. Пусть Только для матриц таких размеров (при которых длина l строки матрицы А равна высоте l столбца В) определено их произведение
,
где для
(2)
В (2) использовано стандартное сокращенное обозначение суммы нескольких величин:
Формулу (2) легко запомнить так:
элемент матрицы
расположенный в i – ой строке и j – ом столбце матрицы С, равен «скалярному» произведению i – ой строки
матрицы А на j – ый столбец
матрицы В.
. (3)
Пример
Их произведение определено:
По формуле (2) или (3)
Следовательно,
Свойствасложения матриц, умножения матрицы на число и умножения матриц аналогичны свойствам сложения и умножения действительных чисел, но умножение матриц не коммутативно: в общем случае
В рассмотренном примере умножения матриц - матрица
, но
будет матрицей
Определение.Единичная матрица Е порядка n - это квадратная матрица порядка n вида
Е имеет свойства, аналогичные свойствам 1 при умножении действительных чисел: можно проверить, что для любой матрицы А размером
и
.
Матричный вид системы линейных уравнений
Рассмотрим СЛУ из n уравнений с n неизвестными :
(4)
Определим для этой СЛУ следующие матрицы:
- квадратная матрица порядка n, называемая матрицей СЛУ,
- столбец неизвестных СЛУ, который является матрицей размера
- столбец свободных членов СЛУ, матрица размера
Теперь СЛУ (4) можно записать в матричном виде
, (5) так как
.
=
Полученный матричный вид (5) СЛУ напоминает общий вид одного уравнения с одним неизвестным х:
При
оно имеет единственное решение: так как
существует обратное к а число
и
Возникает вопрос: можно ли аналогично решить СЛУ (5) – найти обратную к А матрицу и записать решение СЛУ (5) в виде
Но мы пока не знаем, что такое матрица , обратная к матрице А, и для каких матриц А существует
.