Единичной называется диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице и обозначается E
Матрицы. Действия над матрицами.
Матрицейназывается множество чисел или других математических объектов, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m строк и n столбцов. Объекты, входящие в таблицу, называются элементами матрицы.
Обозначения матрицы:
;
;
Для любого элемента первый индекс i означает номер строки, а второй, j,- номер столбца, где расположен элемент.
Матрицу, имеющую m строк и n столбцов, называют матрицей размеров m n.
Употребляются краткие обозначения матрицы размеров m n:
;
;
.
Матрицы также обозначаются латинскими заглавными буквами: A, B, C…
Если число строк не равно числу столбцов, то матрица называется прямоугольной.
Например:
Если число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной:
.
Число строк или столбцов квадратной матрицы называется её порядком.
Диагональ квадратной матрицы, содержащая элементы , называется главной, а диагональ, содержащая элементы
, – побочной.
Квадратная матрица называется симметричной, если равны её элементы симметричные относительно главной диагонали, т.е. .
Например: .
Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы, не принадлежащие главной диагонали, равны нулю.
Например: .
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Матрицы и действия над ними. Стр.1
Если у диагональной матрицы все числа главной диагонали равны между собой, то матрица называется скалярной. Например: .
Единичной называется диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице и обозначается E.
Например: .
Треугольнойназывается квадратная матрица, все элементы которой, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Различают верхнюю и нижнюю треугольные матрицы.
Например: - верхняя треугольная матрица,
- нижняя треугольная матрица.
Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей – строкой, а из одного столбца – матрицей-столбцом.
Например: ,
.
Две матрицы называются равными (A=B), если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны:
Матрица , полученная из данной матрицы A заменой каждой её строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной относительно А. Если матрица А имеет размеры
, то
Например: ,
.
Суммой матриц А и В называется матрица, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковые размеры.
Пример 1. Найти сумму матриц и
.
Решение.
Произведением матрицы А на число k называется матрица kA, каждый элемент которой равняется .
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Матрицы и действия над ними. Стр.2
Пример 2.Найти 5А, если .
Решение.5А= =
.
Произведение матриц определяется для квадратных матриц одного и того же порядка, а также для прямоугольных матриц, у которых число столбцов первого множителя равно числу строк второго множителя.
Произведением матриц и
называется матрица
, каждый элемент которой
равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на элементы j-го столбца матрицы В.
Произведение матрицы А на матрицу В обозначается АВ, при этом АВВА.
Пример 3. Найти произведение матриц и
.
Решение. .
Целой положительной степенью (k>1) квадратной матрицы Аназывается произведение k матриц, каждая из которых равна А.
Нулевой степенью матрицы А называется единичная матрица того же порядка, что и А, т.е. .
Первой степенью матрицы А называется сама матрица А, т.е. .
Многочленом Р(А)от матрицыА называется выражение вида:
.
Многочлен от матрицы можно получить, если в обычный многочлен вместо х подставить квадратную матрицу А и учесть, что
.
Определитель матрицы.
Каждой квадратной матрице A порядка n можно поставить в соответствие единственное число, которое вычисляется по определенному правилу. Это число называется определителем(детерминантом) матрицыA и обозначается |A| или det A, или (A), А. Порядок матрицы A является и порядком ее определителя. Определители порядка 1 и 2 вводятся соответственно равенствами:
Минором элемента aij, где
называется определитель (n–1)-го порядка, который состоит из элементов матрицы, полученной из данной путем «вычеркивания» i-й строки и j-го столбца.
Алгебраическим дополнением этого же элемента называетсячисло Аij=(–1)i+jMij.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Матрицы и действия над ними. Стр.3
Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца: сумма произведений элементов любой строки (или столбца) данного определителя на их алгебраические дополнения равна этому определителю.
Свойства определителей.
1) общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя;
2) перестановка двух строк (столбцов) меняет знак определителя на противоположный;
3) |A| = 0, если выполняется одно из следующих условий:
- в определителе есть нулевая строка (нулевой столбец);
- в определителе есть пропорциональные строки (столбцы);
- в определителе есть строки (столбцы), являющиеся линейной комбинацией соответствующих элементов других строк (столбцов);
4) если к элементам одной строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, то значение определителя не изменится.