Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых величин

 

В приведенных выше примерах нам было достаточно несложных алгебраических преобразований для получения ответа. Иная ситуация возникает, если выражение содержит трансцендентные функции, типа синуса, логарифма и другие. В этом случае нам помогут некоторые пределы, называемые в математике «замечательными» пределами и сравнение бесконечно малых величин между собой.

Первый замечательный предел: ,

Второй замечательный предел: , или , - иррациональное число.

Сравнение бесконечно малых величин между собой определяется через предел их отношения. Пусть и бесконечно малые величины при . Правила сравнения запишем в таблицу:

Величины одного порядка малости  
Эквивалентные величины . Читается: эквивалентно при .
Величина имеет больший порядок малости по сравнению с величиной . Читается: есть - малое по сравнению с при .
не существует Величины не сравнимы между собой  

 

На основании замечательных пределов можно получить таблицу эквивалентных величин при .

 

Заметим, что слева в формулах стоят различные функции, а сравниваются все они со степенной функцией, наиболее простой для работы.

Примеры сравнений:

.

Теорема.Пустьпри . Тогда справедливы равенства:

, . ●

Примеры на вычисление пределов с использованием таблицы эквивалентных величин:

, .

Если при вычислении пределов с неопределенностью переменная стремится к числу, отличному от нуля, то для возможности использовать таблицу, сначала необходимо сделать замену переменной. Например:

.

Пояснения к решению примера. Подставив предельное значение в заданный пример, получили неопределенность вида , т.е. отношение бесконечно малых величин. Но таблицей воспользоваться нельзя, так как таблица справедлива только для случая, если переменная стремится к нулю. Сделаем замену переменной (замена выделена вертикальными линиями) и преобразуем выражение. Подставив новую переменную в выражение для предела, снова получаем неопределенность , но теперь мы уже могли воспользоваться таблицей эквивалентных величин, что и было сделано.

Вычисление пределов при неопределенности . Можно предложить несколько способов. Рассмотрим пример: вычислить . Непосредственная подстановка предельного значения приводит к неопределенности .

Первый способ – логарифмировать заданное выражение. Обозначив заданную функцию , получаем

,

.

Следовательно, .

Второй способ ─ построение выражения в виде :

.

Производная функции

Пусть функция определена в точке и ее окрестности. Если существует конечный предел

, (3)

то этот предел называется производной функции в точке и обозначается или .

При существовании односторонних пределов или говорят о существовании односторонних производных.

Функция, имеющая в каждой точке промежутка конечную производную, называется дифференцируемой функцией на этом промежутке.

Вычисляется производная с использованием таблицы производных и согласно правилам дифференцировании.

Правила дифференцирования
const   I. . II. . III. . IV. . V. . VI. (дифференцирование сложной функции)/ VII. .   АЛГОРИТМ вычисления производных: · Найти последнее действие (функцию). · Применить формулы I–V. · Применить таблицу производных. Замечание. Выражения , следует предварительно преобразовать по формулам: ; ; ;
 

Производная от первой производной называется второй производной или производной второго порядка и обозначается или . Аналогично определяются производные более высоких порядков.

Геометрический смысл производной. Пусть функция непрерывна на промежутке в окрестности точки , а график функции имеет в этой точке касательную, не параллельную оси . Тогда

, (4)

где – угол между положительным направлением оси и касательной (рис. 1).

Рис. 1

Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид

. (5)

Пример 3.Найти производную функции в точке .

Решение. . .

Пример 4.Найти производную функции в точке .

Решение. Заданная функция – сложная. Используем формулу дифференцирования сложной функции.

Тогда .

 

Правило Лопиталя

 

Теорема.Пусть функции 1) и определены в окрестности точки и существуют конечные производные, 2) , 3) существуют конечные производные и , причем , 4) существует предел , Тогда

. ●

Здесь приведена одна из теорем Лопиталя. Аналогичное правило вычисления предела справедливо д с неопределенностью .

Примеры вычисления пределов с помощью правила Лопиталя:

1. ,

2. ,

3. .

Во втором примере мы применили правило Лопиталя 4 раза. В третьем примере правило Лопиталя не применимо, так как не существует предела производных. Нет лекарства от всех бед. Предел же легко вычисляется с использованием теорем и равен единице.

Рекомендуем запомнить пределы:

, .