II (с помощью элементарных преобразований)

Теория ко третьему практическому занятию.

Опр.Квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные по главной диагонали, равны 1, а остальные - 0, называется единичной матрицей и обозначается или , т.е.

.

Опр.Матрица называется обратной к квадратной матрице и обозначается , если , где - единичная матрица такого же порядка, что и матрица .

Зам.Как следует из определения обратной матрицы - квадратная матрица такого же порядка, что и матрица .

Теорема 1.Для того, чтобы матрица была обратной к квадратной матрице , необходимо и достаточно, чтобы .

Теорема 2 (о существовании обратной матрицы).Для того, чтобы квадратная матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы .

Опр.Если определитель квадратной матрицы , то она называется невырожденной (неособенной), в противном случае вырожденной (особенной).

Теорема 3 (о единственности обратной матрицы).Если квадратная матрица имеет обратную, то только одну.

Методы нахождения обратной матрицы

I (по формуле).Формула для нахождения обратной матрицы: .

 

II (с помощью элементарных преобразований).

Опр.Элементарными преобразованиями над строчками матрицы называются следующие преобразования:

1) Умножение элементов строки на число ;

2) Прибавление к элементам строки соответствующих элементов другой строки, предварительно умноженных на одно и то же число;

3) Перестановка строк местами;

4) Отбрасывание строки, состоящей из нулей.

Зам.Элементарные преобразования над столбцами матрицы определяются аналогично.

Опр.Элементарные преобразования над строчками и столбцами матрицы называются элементарными преобразованиями над матрицей.

Теорема.Любую невырожденную квадратную матрицу с помощью элементарных преобразований над строчками можно привести к единичной матрице такого же порядка. При применении той же последовательности элементарных преобразований к единичной матрице такого же порядка в результате получается матрица, обратная к данной.

Зам.Аналогичная теорема верна и для столбцов.

элементарные преобразования над строчками

Обычно элементарные преобразования над матрицами и проводят одновременно. Для этого составляют одну из расширенных матриц:

1) либо

2)

элементарные преобразования над столбцами

либо

Мы будем пользоваться формулой 1).

Примечание.Перед применением формулы 1) необязательно проверять исходную матрицу на невырожденность. Если она вырожденная, т.е. не имеет обратной, то в процессе преобразований этой матрицы в единичную какая-либо ее строка превратится в нулевую.

Алгоритм нахождения обратной матрицы с помощью элементарных преобразований по формуле 1):

1) На месте столбцов матрицы получают столбцы матрицы следующим образом:

а) сначала в столбце создают единицу путем умножения строки, в которой нужно создать единицу, на подходящее число;

б) затем в этом столбце создают нули путем прибавления к строке, в которой нужно создать 0, строки, содержащей единицу, предварительно умножив ее на подходящее число.

2) После создания столбцов матрицы , сточки, если это необходимо, меняют местами.

Зам.Необязательно столбцы матрицы преобразовывать по порядку, т.е. сначала 1-й, 2-й и т.д.

 

Зам.Необязательно на месте 1-го столбца матрицы получать 1-й столбец матрицы , на месте 2-го – 2-й и т.д.