Передаточные функции импульсных АСУ
Представим структурную схему импульсной системы в виде, показанном на рис. 1.39.
Рис. 1.39. Структурная схема импульсной АСУ
Обычно при анализе АСУ рассматривают передаточные функции разомкнутых и замкнутых систем, а также передаточную функцию ошибки.
Передаточной функцией разомкнутой импульсной системы называют отношение изображений в смысле дискретного преобразования Лапласа выходного и входного импульсных сигналов при нулевых начальных условиях
, (1.43)
Аналогично
.
Основная задача состоит в определении W(z) по известной WПНЧ(z). Эту задачу решают в такой последовательности:
1. Находят функцию веса ПНЧ
. (1.44)
2. По функции веса находят аналитическое выражение для соответствующей дискретной функции веса .
3. Выполнив z-преобразование над , определяют
. (1.45)
Передаточная функция замкнутой системы по заданию
, (1.46)
причем
. (1.47)
Передаточная функция ошибки
. (1.48)
Зная эту передаточную функцию, можно найти дискретную функцию ошибки .
Пример. Определить передаточные функции импульсной системы, если
.
Решение. Передаточная функция приведенной непрерывной части
.
Передаточная функция разомкнутой системы
.
.
Основная передаточная функция
.
Передаточная функция ошибки
.
Устойчивость и качество дискретных систем
Условия устойчивости
Определения устойчивости непрерывных систем в основном применимы и к импульсным системам. Основная формулировка устойчивости такова: импульсная система устойчива, если ее собственное движение с течением времени затухает.
Решение разностного уравнения
, (1.49)
описывающего динамику замкнутой системы, состоит из двух частей
, (1.50)
где первая часть определяет свободное движение, а вторая – вынужденное движение.
Решение для дискретной функции y[nT] можно представить в виде суммы свободной и вынужденной составляющих
. (1.51)
При оценке устойчивости ИАСУ, как и в непрерывной системе, исследуется свободное движение. Оно может быть найдено при решении однородного разностного уравнения (без правой части)
, (1.52)
называемого характеристическим уравнением замкнутой ИАСУ. Это же уравнение можно получить и по передаточной функции замкнутой системы Kз(z), приравняв нулю ее знаменатель
. (1.53)
Решение уравнения (1.52) находим в виде
, (1.54)
где ci – постоянные коэффициенты, zi – корни характеристического уравнения.
Для устойчивости ИАСУ необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
. (1.55)
Это возможно, когда все корни характеристического уравнения zi будут по модулю меньше единицы. Таким образом, условием устойчивости является соотношение
. (1.56)
Графически это условие можно интерпретировать, преобразовав р-плоскость в z-плоскость. Так как , то полагая p = jw, что соответствует мнимой оси, получим
, что является окружностью единичного радиуса (рис. 1.40, а).
Эта связь указывает на следующее соответствие корней zi и pi:
при pi = 0 zi = 1;
если Re pi < 0, то | zi | < 1.
|
Если хотя бы один корень лежит на окружности – система на границе устойчивости. Если хотя бы один корень лежит вне круга – система неустойчива.
Рис. 1.40. Отображение р-плоскости в z-плоскость (а),
круг единичного радиуса комплексной плоскости z (б)
Соответствие p-плоскости, z-плоскости и временных характеристик при различных случаях корней характеристического уравнения изображено на рис. 1.41.
| |||
| |||
| |||
|
![](images/image-805-12.png)
Рис. 1.41. Соответствие корней характеристического уравнения p-плоскости,
z-плоскости и временных характеристик
Пример. Оценить устойчивость импульсной системы со структурой, представленной на рис.1.42.
| |||
| |||
![]() |
Рис. 1.42. Структурная схема ИАСУ
Передаточная функция разомкнутой системы .
Перейдя к z-преобразованию, получим .
Передаточная функция замкнутой системы , откуда характеристическое уравнение z + (KT – 1) = 0. Здесь единственный корень z = 1 – KT. По условию устойчивости
, то есть ½1 – KT½<1 и окончательно область устойчивости будет иметь вид неравенства: 0<KT<2. При всех других значениях K и T импульсная система будет неустойчивой.
В дискретных, как и в непрерывных системах, используют критерии устойчивости, позволяющие судить об устойчивости без определения корней.
Их применение основано на формуле билинейного преобразования
, (1.57)
которое позволяет отобразить единичный круг плоскости z в левую часть комплексной плоскости w.
Такое преобразование называют также дробно-линейным преобразованием. Оно позволяет отобразить внутренности единичного круга в плоскости z на левую полуплоскость плоскости w, причем контур окружности единичного радиуса переходит при этом в мнимую ось на w-плоскости (рис. 1.43).
Рис. 1.43. К вопросу дробно-линейного преобразования
Пример. Характеристическое уравнение системы 1-го порядка
.
Определить условия устойчивости системы.
Решение.
С учетом формулы билинейного преобразования , запишем исходное характеристическое уравнение в следующем виде
,
,
.
Условие устойчивости
.
Пусть , тогда
,
,
.
Условие устойчивости
.
Здесь раскрывается важное свойство импульсных систем: устойчивость зависит как от общего коэффициента передачи k системы в разомкнутом состоянии, так и от периода дискретности T.
Для систем 2-го порядка необходимым и достаточным условием является положительность коэффициентов характеристического уравнения. Для систем 3-го и выше порядка применяют критерий Гурвица. Можно также применить критерий Михайлова.