Специальные классы линий и поверхностей
Линии на плоскости
Астроида (рис. 7.2)
(см. также гипоциклоиду модуля m = 1/4).
Уравнение в декартовых координатах:
Параметрические уравнения:
Площадь, ограниченная астроидой: 
Длина дуги от точки A до произвольной точки M(t):
Длина всей астроиды: s = 6R.
Радиус кривизны в произвольной точке: 
Гипоциклоида (рис. 7.3)
Гипоциклоида - линия, описываемая точкой окружности радиуса r, катящейся без скольжения по другой окружности радиуса R внутри нее (m = r/R - модуль гипоциклоиды)
Параметрические уравнения:
где mR = r.
Частные случаи см. на рис. 7.4.
Длина дуги от точки A до произвольной точки M(t):
Длина одной ветви гипоциклоиды: 
Площадь сектора, ограниченного одной ветвью линии:
Радиус кривизны в произвольной точке:
Декартов лист (рис. 7.5)
Декартов лист - линия, заданная уравнением
Параметрические уравнения:
Полярное уравнение: 
Асимптота: y = - x - a.
Площадь, ограниченная петлей декартова листа: 
Кардиоида (рис. 7.6)
(см. также эпициклоиду с модулем m = 1)
Уравнение в декартовых координатах:
Параметрические уравнения:
Полярное уравнение (с полюсом в точке A):
Длина дуги от точки A до произвольной точки M:
Длина всей кардиоиды: s = 16r.
Площадь, ограниченная кардиоидой: 
Радиус кривизны в произвольной точке:
Конхоида Никомеда (рис. 7.7)
Конхоида Никомеда - линия, полученная при увеличении или уменьшении каждого радиуса-вектора точек данной прямой y = a на одну и ту же величину l, т. е. 
Уравнение в декартовых координатах:
Полярное уравнение: 
Асимптота: y = a.
Лемниската Бернулли (рис. 7.8)
(см. овалы Кассини при a = c).
Уравнение в декартовых координатах:
Полярное уравнение: 
Длина дуги лемнискаты между точками, для которых 
и 
(эллиптический интервал первого рода).
Площадь сектора между осью и радиусом-вектором, соответствующим углу 
Площадь, ограниченная лемнискатой: 
Радиус кривизны: 
Локон (верзиера) Аньези (рис. 7.9)
Пусть имеется круг диаметром |OC| = a. Локон Аньези - множество точек M, для каждой из которых OB : BD = OC : BM.
Уранение в декартовых координатах:
Асимптота: y = 0.
Площадь между верзиерой и ее асимптотой: 
Овалы Кассини (рис. 7.10)
Овалы Кассини - множество точек плоскости, произведение расстояний от каждой из которых до двух данных точек (фокусов) постоянно.
Уранение в декартовых координатах:
где 
- фокусы; 
При 
линия выпуклая, при 
имеет вид овала с двумя утолщениями, при a = c - лемниската Бернулли, при с > a состоит из двух замкнутых линий.
Розы
| Уравнение, название | График |
 техлепестковая роза
| 
|
 четырехлепестковая роза
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
Общие свойства
1. Если k - нечетное число, роза состоит из k лепестков.
2. Если k - четное число, роза состоит из 2k лепестков.
3. Если k = m/n, n > 1, - рациональное число, роза состоит из m лепестков при m и n нечетных и из 2m лепестков, если одно из этих чисел четное (при этом каждый следующий лепесток частично покрывает предыдущий).
4. Если k - иррациональное число, роза состоит из бесчисленного множества лепестков, частично накладывающихся друг на друга.
Спирали
| Уравнение, название | График |
 спираль Архимеда
| 
|
 спираль Галилея
| 
|
 спираль гиперболическая
| 
|
 спираль "жезл"
| 
|
 спираль Корню (клофоида)
| 
|
 спираль логарифмическая
| 
|
 спираль параболическая
| 
|
| спираль Ферми
| 
|
| 
|
Дополнительные сведения о некоторых спиралях
Гиперболическая спираль 
Асимптота: y = a.
Площадь сектора, ограниченного дугой гиперболической спирали и двумя радиусами-векторами 
и 
с углами 
и 
:
Длина дуги между точками 
и 
Логарифмическая спираль 
Длина дуги между точками и
Радиус кривизны: 
Спираль Архимеда 
Длина дуги между точками и
Площадь сектора, ограниченного дугой спирали Архимеда и двумя радиусами-векторами и , соответствующими углам и :
Площадь, ограниченная полярной осью и n-м витком спирали:
Строфоида (рис. 7.11)
Даны точка О и прямая, находящаяся от точки О на расстоянии ОА = а. Вокруг точки О вращается луч, пересекающий прямую в переменной точке В. Строфоида - множество точек Мi, i = 1, 2, таких, что BМ1 = BМ2 = AB.
Уравнение в декартовых координатах:
Уравнение в полярных координатах:
Параметрические уравнения:
Площадь, ограниченная петлей строфоиды:
Трактриса (рис. 7.12)
Трактриса - линия, у которой длина касательной является постоянной величиной a.
Уравнение в декартовых координатах:
Параметрические уравнения:
Длина дуги, отсчитываемая от точки A(0; a) до произвольной точки: 
Площадь, ограниченная трактрисой и ее асимптотой: 
Радиус кривизны: 
Улитка Паскаля (рис. 7.13)
На произвольном луче OA от точки A пересечения его с окружностью 
по обе стороны откладываются отрезки 
Улитка Паскаля - множество точек Мi.
Уравнение в декартовых координатах:
Уравнение в полярных координатах:
Площадь, ограниченная улиткой (для случая l > 2a):
При l = 2a получается кардиоида.
Цепная линия (рис. 7.14)
Цепная линия - линия, форму которой принимает гибкая однородная, нерастяжимая тяжелая нить с закрепленными концами.
Уравнение в декартовых координатах:
Длина дуги от вершины до произвольной точки M (x; y):
Площадь, ограниченная цепной линией, двумя ее ординатами и осью абсцисс:
Радиус кривизны: 
Циклоиды (рис. 7.15)
Циклоида - линия, которую описывает точка M, расположенная на расстоянии d от центра круга радиуса a, катящегося без скольжения по прямой. Если d = a, циклоида называется обыкновенной, d > a, - удлиненной, d < a, - укороченной.
Обыкновенная циклоида
Параметрические уравнения:
Уравнение в декартовых координатах:
Длина дуги циклоиды от исходной точки (t = 0) до произвольной точки M (t):
Длина одной арки циклоиды: s = 8a.
Площадь, ограниченная одной аркой циклоиды и ее базисом: 
Радиус кривизны в произвольной точке: 