Вычисление пределов с использованием второго замечательного предела
Одна из форм записи второго замечательного предела
.
Второй замечательный предел раскрывает неопределенность вида 
.
Пример
Вычислить предел 
.
Решение
Предел основания 
, а показатель степени 
при 
, т.е. имеет место неопределенность вида 
. Выделим целую часть основания степени
и применим второй замечательный предел:
, учитывая, что 
.
Непрерывность функции
Пусть функция 
определена в некоторой окрестности точки 
.
Определение. Функция 
называется непрерывной в точке 
, если она имеет предел в точке 
и этот предел равен 
– значению функции 
в точке 
:
.
Таким образом, для того чтобы функция 
была непрерывна в точке 
, необходимо и достаточно выполнение трех условий:
1) функция 
должна быть определена в точке 
;
2) должны существовать пределы функции 
при 
как слева, так и справа, т.е. 
и 
;
3) эти пределы должны быть равны между собой и равны значению функции 
в точке 
, т.е. 
.
Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, то говорят, что функция имеет разрыв в точке 
и точку 
называют точкой разрыва функции 
.
Точки разрыва следует искать среди точек, не входящих в область определения функции.
Классификация точек разрыва
Определение. Если в точке 
функция 
имеет пределы слева и справа и они равны между собой, а в точке 
или функция не определена, то точка 
называется точкой устранимого разрыва функции 
.
В этом случае функцию можно доопределить в точке 
так, чтобы она стала непрерывной, т.е. положить
.
Определение. Если в точке 
функция 
имеет конечные пределы слева и справа, причем 
, то точка 
называется точкой разрывафункции 
1-го рода.
При переходе через точку 
значение функции 
претерпевает скачок, измеряемый разностью 
.
Определение. Точка 
называется точкой разрыва 2-го рода, если в этой точке хотя бы один из пределов (справа или слева) не существует или равен 
.
Пример
В точках 
и 
для функции 
установить характер точек разрыва.
Решение
Область определения функции 
. Данная функция непрерывна во всех точках, кроме точек и , которые не входят в область определения функции.
Исследуем точку , находя ее односторонние пределы в этой точке:
если 
, то 
, тогда предел слева 
,
если 
, то 
, тогда предел справа 
.
Так как односторонние пределы конечны, но не равны между собой, то в точке функция 
имеет разрыв 1-го рода (скачок функции).
Исследуем точку 
, находя ее односторонние пределы в этой точке:
если 
, то 
, тогда 
,
если 
, то 
, тогда 
.
Так как односторонние пределы равны 
, то в точке функция 
имеет разрыв 2-го рода.
Правила дифференцирования
Определение. Производной функции 
в данной точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при 
, если он существует.
По определению
.
Таблица производных
| № | № | ||
 , 
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
|
Правила дифференцирования
1. Производная постоянной равна нулю: 
.
2.
Теорема. Если каждая из функций 
и 
дифференцируема в данной точке х, то сумма, разность, произведение и частное (частное при условии 
) так же дифференцируемы в этой точке, причем имеют место формулы:
1) 
,
2) 
,
3) 
.
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:
.
Пример
Используя таблицу производных и правила дифференцирования, найти производную функции 
.
Решение
