Практические занятия по теме. «Определенный интеграл и его применения»
«Определенный интеграл и его применения»
Цель: Углубленное усвоение лекционного занятия и проверка знаний студентов по теме, научится решать задачи по теме.
Планы занятий:
Решение задач и одновременное повторение основных терминологий и алгоритмов. Примеры решения задач:
Пример 1. Вычислить
Решение. Произвольная первообразная для функции f(x) = x2 имеет вид
Для нахождения интегралов по формуле Ньютона – Лейбница возьмем такую первообразную у которой C = 0. Тогда
При нахождении интегралов удобно использовать свойство приращения первообразной
где a — произвольное число.
Пример 2. Вычислить
Решение. Пусть t = 2 – x2. Тогда dt = d(2 – x2) = (2 – x2)' dx = – 2xdx и если x = 0, то t = 2 – 02 = 2, и если x = 1, то t = 2 – 12 = 1. Следовательно
Пример 3. Вычислить
Решение. Пусть u = ln(1 + x), dv = dx. Тогда
Получаем
Для нахождения полученного интеграла полагаем 1 + x = t. Тогда dx = dt, x = t – 1 и если x = 0, то t = 1, если x= 1, то t = 2. Следовательно
►
Пример 4.
а) 
Используя эквивалентное преобразование подынтегральной функции (почленное деление числителя на знаменатель) и свойства определенного интеграла, получаем
Все три интеграла — табличные:
б) 
Так как
то
(1 – 0) – (0 – 1) = 2.
в) 
Воспользуемся заменой переменной: пусть
. Тогда t2 = ех – 1, ех = t2 + 1, 2t dt = exdx и
Найдем пределы интегрирования по переменной t. если х = 0, то
если х = ln2, то
Искомый интеграл теперь принимает вид:
Пример 5.
y = x2 -1,
y = x +1.
Найдем абсциссы точек пересечения.
x2-1= x +1,
x2 - x -2=0,
x1=2 x2= -1.
Пример 6. y = sinx, x Î [0,p].
Пример 7. 
Пример 8. Найти площади плоских фигур, ограниченных линиями:
а) у = х2; 
x = 3, у = 0;
Решение:
Искомая площадь S = SOAB — это площадь под «кривой» ОАВ(см рис. 11.6) на отрезке [0; 3].
Рис. 11.6
Линия ОАВ состоит из части ОА параболы у = х2и части АВгиперболы . Соответственно, площадь S найдем как сумму двух площадей: S = SOAD + SABCD,каждую из которых вычислим, опираясь на геометрический смысл определенного интеграла . Решая систему
находим координаты точки А:(1, 1).
Тогда
б) у =2х – х2, у = 0, х = 3Фигура искомой площади S состоит из двух криволинейных треугольников: ОАВи BCD,расположенных (соответственно) выше и ниже оси Ох(см. рис. 11.7). Площади этих треугольников найдем по формулам
Рис. 11.7
Тогда
в) 
Найдем координаты точек пересечения заданных линий (см. рис. 11.8).
Рис. 11.8
Решая систему
получаем А(1/2; 2). Аналогично B(1; 4), D(4; 1), E(2; 1/2).
Искомой в данном случае является площадь S криволинейной трапеции ABDE.Выполняя проецирование «угловых» точек этой трапеции на ось Ох,разобьем ее на части, площадь каждой из которых найдем по формуле :
S = SABF + SBCEF + SCDE;
Окончательно получаем:
S = (l,5 – ln 2) + 31n 2 + (4ln 2 – 1,5) = 6ln 2 ≈ 4,2(ед2).
г) 
Искомой здесь (см. рис. 11.9) является площадь криволинейной трапеции ABCD.В данном случае будет удобно использовать проецирование фигуры на ось Оу, т.е. поменять местами функцию уи аргумент х.
Рис. 11.9
Используя формулу (с учетом последнего замечания), получаем:
Заметим, что использование традиционного проецирования фигуры на ось Ох приведет к существенно более трудоемкому решению (предлагаем читателю в качестве упражнения убедиться в этом самостоятельно).
Пример 9.Найти работу при растяжении мышцы на 4 см, если для ее растяжения на l см требуется нагрузка 10 H. Считать, что сила, необходимая для растяжения мышц пропорциональна ее удлинению.
Дано: L =4 см = 0,04 м, x1=0,01 см, F1 = 10 H
Найти: A – ?
Решение:
Найдем жесткость пружины:
Пример 10.Найти количество произведенной продукции (дневную выработку) P за восьмичасовой рабочий день, если изменение производительности труда f(t) в течение дня можно описать формулой:
f(t)= P0(– 0,2t2 + 1,6t + 3),
где t — время в часах, P0 — некоторая постоянная, имеющая размерность производительности.
Чему равен объем продукции P3за третий час рабочего дня?
Решение:
Эта формула вполне отражает реальный процесс работы (рис. 2.23). Производительность сначала растет, достигая максимума в середине рабочего дня при t — 4 ч, а затем падает.
Рис. 2.23
Будем полагать, что производительность труда меняется в течение дня непрерывно, т.е. f(t) —непрерывная функция от времени t на отрезке [0,8].
Дневная выработка Р — это определенный интеграл — это площадь криволинейной трапеции, ограниченная сверху кривойf(t).
Объем продукции Р3, произведенной за третий час рабочего дня равен:
Основная литература
Основная литература
1. Шипачёв, В.С. Высшая математика: учебник для вузов.- 8-е изд., стер.- М.: Высшая школа, 2007.- 479с., илл. ББК 22.1 МО
2. Башмаков, М.И. Математика. Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для СПО.- М.: Академия, 2012.- 208с. ББК 22.1 ФИРО
3. Башмаков, М.И. Математика. Задачник: учеб. пособие для СПО.- М.: Академия, 2012.- 416с. ББК 22.1 ФИРО
4. Федорова Н.В. Математика. Учебное пособие. – Волгоградский институт бизнеса, вузовское образование. 2013. ISBN: 978-5-9061-7227-3
5. Лукша В.В. Математика. Учебное пособие. – Волгоградский институт бизнеса, вузовское образование. 2013. ISBN: 978-5-9061-7228-0
6. Гунько Ю.А. Математический анализ. Учебное пособие. – Волгоградский институт бизнеса, вузовское образование. 2013. ISBN: 978-5-9061-7230-3
7. Щербакова Ю.В. Дифференциальные уравнения. Учебное пособие. Научная книга. 2012.
8. Боронина Е.Б. Математический анализ. Учебное пособие. Научная книга. 2012.
Дополнительная литература
1. Высшая математика для экономистов: Учебник / Кремер Н.Ш. - М.: Юнити, 2006, 2008, 2009.
2. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учб. пособ./ Под ред. В.И. Ермакова-М.:ИНФРА-М,2004.
3. Общий курс высшей математики (для экономистов): Учебник / Под ред. Ермакова В.И. – М.: Инфра-М, 2003.
4. Кузнецов Б. Т. Математика. М., ЮНИТИ, 2004
Формы текущего контроля знаний: решение задач.
Формы контроля самостоятельной работы студентов: ответы на вопросы, проверка решения задач, заданных на дом.