За даними таблиці 3.4 визначити відносні величини структури, порівняння та координації. 3 страница
Середня частка студентів, прийнятих на денне відділення в базовому навчальному році, становила 61,2%.
Даних про загальну чисельність прийнятих студентів у поточному році немає, але цей показник можна визначити, поділивши чисельність студентів, зарахованих на денне відділення, на частку їх у загальній кількості прийнятих. Виходячи з цього, для обчислення середньої частки студентів денного відділення треба використати формулу середньої гармонійної зваженої, тобто
= 
, або 65,9 %.
Завдання 6.18
Необхідно:
– за даними таблиці 6.15 визначити модальний та медіанний вік чоловіків-одинаків за даними перепису населення України.
Дані для виконання:
Таблиця 6.15. Дані про групування чоловіків-одинаків за віком
| Вік х, років | до 20 | 20–29 | 30–39 | 40–49 | 50–59 | 60–69 | 70 і старше | Разом |
| Частка вікової групи w, % | 4,9 | 20,1 | 15,5 | 15,2 | 17,0 | 13,0 | 14,3 | 100,0 |
Розв’язок.Модальний вік розраховують за формулою
,
де XMo – нижня межа; hMo – ширина модального інтервалу;
fMo, fMo-1, fMo+1 – відповідна частота (частка) модального, попереднього і наступного інтервалів відносно модального. Модальний віковий інтервал становить від 20 до 29 років, оскільки йому відповідає найбільша частота (fMo = 20,1):
,
тобто найбільш поширеним віком серед чоловіків-одинаків є вік близько 27 років.
Медіанний вік визначають за формулою
,
де XMe, hMe – відповідно нижня межа і ширина медіального інтервалу;
SMe-1 – сума накопичених частот (часток) в інтервалі, що передує медіанному; fMe – частота (частка) медіанного інтервалу.
Порядковий номер центральної варіанти відповідає частці 50. У графі накопичених частот ця варіанта знаходиться в групі 40 – 49 років. Отже,
.
Половина чоловіків-одинаків перебуває у віці до 45,6 років, а інша – старші 45,6 років.
Завдання 6.19
Необхідно:
– визначити розмах варіації і коефіцієнт осциляції; середнє лінійне відхилення і лінійний коефіцієнт варіації.
Дані для виконання:
Вік робітників однієї бригади будівельників становить 28, 30, 31, 46, 47, 48, 50 років.
Розв’язок.Розмах варіації – це різниця між максимальним і мінімальним значенням ознаки, тобто
R = xmax – xmin = 50 – 28 = 22.
Відношення розмаху варіації до середньої величини ознаки називають коефіцієнтом осциляції, який обчислюють за формулою
.
Оскільки дані незгруповані, середню величину обчислюють за формулою середньої арифметичної простої
,
тоді
.
Середнє лінійне відхилення – це середній модуль відхилень індивідуальних значень ознаки від їх середньої величини
d = 
Лінійний коефіцієнт варіації визначають за формулою
,
що свідчить про незначну варіацію робітників бригади будівельників щодо їх віку.
Завдання 6.20
Необхідно:
– за даними розподілу вантажних автомобілів одного підприємства за строком експлуатації (таблиця 6.16) обчислити: дисперсію строку експлуатації вантажних автомобілів; середнє квадратичне відхилення і квадратичний коефіцієнт варіації; дисперсію частки вантажних автомобілів зі строком експлуатації менше як 8 років.
Дані для виконання:
Таблиця 6.16. Розрахункова таблиця для обчислення показників варіації
| Строк перебування вантажних автомобілів в експлуатації, років | Кількість автомо-білів | Середина інтервалу, х | xf | _ x – x | _ (x – x)2 | _ (x – x)2f | x2 | x2 f |
| До 4 | -7 | |||||||
| 4 – 6 | -4 | |||||||
| 6 – 8 | -2 | |||||||
| 8 – 10 | ||||||||
| 10 –12 | ||||||||
| 12 –14 | ||||||||
| 14 і більше | ||||||||
| Разом | - | - | - | - |
Розв’язок.Дисперсія – це середній квадрат відхилень від середньої:
s 
.
В рядах розподілу середню обчислюють за формулою середньої арифметичної зваженої
;
s 
.
Дисперсію можна визначити також за формулою різниці квадратів
s 
,
де 
– середній квадрат значень варіант.
Необхідні для обчислення дані наведені в таблиці.
Отже,
s 
Середнє квадратичне відхилення – це корінь квадратний з дисперсії
s = √s 
= 
.
Відношення середнього квадратичного відхилення до середньої називають квадратичним коефіцієнтом варіації. Його обчислюють за формулою
U = (s / 
)100% = 
,
що свідчить про однорідність сукупності автомобілів щодо строку 
перебування їх в експлуатації.
Частка автомобілів, у яких строк перебування в експлуатації менш як 8 років становить
v = 
.
Дисперсію частки як альтернативної ознаки визначають за формулою
s 
p (1 – p), тобто s 0,43 (1 – 0,43) = 0,245.
Завдання 7.1
Необхідно:
– дати повну і змістовну відповідь на наступні питання.
Дані для виконання:
1. Види зв’язків між соціально-економічними явищами. Завдання і прийоми вивчення зв’язків
2. Знаходження рівнянь регресії
3. Вимірювання щільності зв’язку
4. Непараметричні методи вивчення зв’язків
Завдання 7.2
Необхідно:
– визначити, яка з наведених нижче корельованих пар ознак є факторною, а яка – результативною:
Дані для виконання:
1. Потужність електростанції, виробництво електроенергії.
2. Споживчі ціни, купівельна спроможність грошової одиниці.
3. Безробіття, рівень злочинності.
4. Продуктивність праці робітника-верстатника, вік виробничого обладнання.
5. Торгова площа магазинів, товарооборот.
6. Оборот біржі, кількість брокерських місць.
7. Фізичний знос обладнання, коефіцієнт змінності роботи підприємства.
Завдання 7.3
Необхідно:
– визначити, які з наведених залежностей соціально-економічних явищ є функціональними, а які – кореляційними:
Дані для виконання:
1. витрати сімей на продукти харчування – від числа членів сім’ї;
2. загальний капітал акціонерної компанії – від кількості випущених компанією акцій та їх ринкової ціни;
3. тривалість життя населення регіону – від стану екологічного середовища;
4. собівартість продукції – від обсягу виробництва і виробничих витрат;
5. введення в дію житла – від капітальних вкладень у житлове будівництво;
6. плата за кредит – від розміру позики і процента за користування кредитом;
7. попит на товари народного споживання – від наявності їх на ринку і цін.
Завдання 7.4
Необхідно:
– за даними таблиці 7.1 обчислити: 1) міжгрупову дисперсію продуктивності верстатів; 2) за допомогою кореляційного відношення оцінити тісноту зв’язку між виробітком деталей за зміну і строком служби верстатів; 3) використовуючи F- критерій, перевірити істотність зв’язку з імовірністю 0,95.
Дані для виконання:
Загальна дисперсія продуктивності верстатів за зміну становить 292.
Таблиця 7.1. Дані про групування верстатів за строком служби
| Строк служби верстатів, років | Кількість верстатів | Виробіток деталей за зміну в розрахунку на 1 верстат, шт. |
| До 7 | ||
| 7 – 14 | ||
| 14 – 20 | ||
| 20 і більше | ||
| Разом |
Завдання 7.5
Необхідно:
– за даними табл. 7.2: 1) обчислити міжгрупову, середню з групових та загальну дисперсії виробітку одного автомобіля, показати їх взаємозв’язок; 2) для оцінки тісноти зв’язку між виробітком автомобіля та його технічною швидкістю використати кореляційне відношення, пояснити його економічний зміст; 3) за допомогою F-критерію перевірити істотність зв’язку. Зробити висновки з імовірністю 0,95.
Дані для виконання:
Таблиця 7.2. Залежність виробітку вантажного автомобіля від технічної швидкості
| Середня технічна швидкість автомобіля, км/год. | Кількість автотранспортних підприємств | Середній виробіток на 1 машино-год, т-км | Дисперсія середнього виробітку |
| До 30 | |||
| 30 – 40 | |||
| 40 – 50 | |||
| 50 і більше | |||
| Разом | - |
Завдання 7.6
Необхідно:
– 1) визначити функцію, яка відображає залежність якості сировини від дальності перевезень; 2) обчислити параметри регресійного рівняння. Пояснити їхній економічний зміст; 3) за допомогою коефіцієнта детермінації оцінити тісноту зв’язку між названими показниками; 4) перевірити істотність зв’язку, користуючись F-критерієм, з імовірністю 0,95. Зробити висновки.
Дані для виконання:
Консервний комбінат здійснює заготівлю сировини в радіусі до 200 км (таблиця 7.3).
Таблиця 7.3 Залежність якості заготовленої сировини від відстань перевезення
| Радіус перевезення, км | Частка нестандартної сировини, % | Радіус перевезення, км | Частка нестандартної сировини, % |
Завдання 7.7
Необхідно:
– за даними таблиці 7.4 оцінити тісноту зв’язку між наведеними за допомогою коефіцієнту асоціації; перевірити його істотність з імовірністю 0,95.
Дані для виконання:
Таблиця 7.4. Дані про стосунки 280 молодих сімей з батьками
| Молоді сім’ї, що проживають | Число молодих сімей, яким | ||
| допомагають батьки | не допомагають батьки | Разом | |
| З батьками | |||
| Окремо | |||
| Разом |
Завдання 7.8
Необхідно:
– за даними таблиці 7.5 проаналізувати комбінаційний розподіл робітників та оцінити тісноту зв’язку між професійною мобільністю і задоволеністю працею за допомогою коефіцієнта співзалежності Чупрова; перевірити істотність зв’язку, використовуючи критерій 
. Висновки зробити з імовірністю 0,95.
Дані для виконання:
Таблиця 7.5. Дані соціологічного опитування молодих робітників
| Чи задоволені професією | Чи маєте намір змінити професію | Разом | ||
| так, найближчим часом | так, в перспективі | ні | ||
| Задоволений | - | |||
| Ставлюсь байдуже | ||||
| Незадоволений | - | |||
| Разом |
Завдання 7.9
Необхідно:
– за даними таблиці 7.6 оцінити тісноту зв’язку між технічним і організаційним рівнями виробництва за допомогою коефіцієнта рангової кореляції; перевірити істотність зв’язків з імовірністю 0,95.
Дані для виконання:
Таблиця 7.6. Дані експертних бальних оцінок технічного і організаційного рівня виробництва груп промислових підприємств
| Номер підприємства | Рівень | |
| технічний | організаційний | |
Розв’язок типових завдань
Завдання 7.10
Необхідно:
– використовуючи дані таблиці 7.7 про споживання м’яса та м’ясопродуктів у сім’ях робітників і службовців залежно від рівня середньодушового сукупного доходу, за допомогою кореляційного відношення оцінити тісноту зв’язку між названими показниками. Відомо, що загальна дисперсія споживання м’яса і м’ясопродуктів становить 12,9. Перевірити істотність зв’язку між цими ознаками з імовірністю 0,95.
Дані для виконання:
Таблиця 7.7. Дані про споживання м’яса та м’ясопродуктів у сім’ях робітників і службовців залежно від рівня середньодушового сукупного доходу
| Рівень середньодушового сукупного доходу | Кількість сімей, % до підсумку | Споживання м’яса і м’ясопродуктів на члена сім’ї за рік, кг |
| Низький | ||
| Середній | ||
| Високий | ||
| Разом |
Розв’язок. Результативною ознакою y є споживання м’яса і м’ясопродуктів, а факторною x – рівень середньодушового сукупного доходу. Для оцінки тісноти зв’язку між цими ознаками використовують відношення 
, де 
– міжгрупова і загальна дисперсія.
Міжгрупову дисперсію обчислюють за формулою
Розрахунок міжгрупової дисперсії подано в таблиці 7.8.
Таблиця 7.8. Розрахунок міжгрупової дисперсії
| Номер груп за факторною ознакою | f I | _ y i | _ _ y i – y | _ _ 2 (y i – y) f I |
| -18 | ||||
| -2 | ||||
| Разом | - |
Міжгрупова дисперсія становить 
, а загальна 
= 12,9, кореляційне відношення – 
Це означає, що 75% варіації споживання м’яса і м’ясопродуктів залежить від рівня середньодушового сукупного доходу, 25% припадає на долю інших ознак.
Істотність зв’язку перевіримо за допомогою F-критерію
.
Число ступенів вільності можна визначити так:
k1 = m – 1 = 3 – 1 = 2,
k2 = n – m = 100 – 3 = 97,
де m – число груп за факторною ознакою; n – кількість елементів сукупності;
Фактичне значення F-критерію більше від критичного F0,95(2; 97) = 3,11, тобто зв’язок між рівнем середньодушового сукупного доходу і споживанням м’яса та м’ясопродуктів з імовірністю 0,95 визнається істотним.
Завдання 7.11
Необхідно:
– за даними таблиці 7.9 обчислити параметри лінійного рівняння регресії, надати їм економічну інтерпретацію;
– за допомогою коефіцієнта детермінації визначити тісноту зв’язку між урожайністю кукурудзи та строком її збирання.
– перевірити істотність зв’язку між зазначеними ознаками з імовірністю 0,95.
Дані для виконання:
Таблиця 7.9. Залежність урожайності кукурудзи від строку збирання урожаю обстежено 10 господарств, які належать до однієї природно-кліматичної зони
| Номер господарства | Строк збирання урожаю, днів | Урожайність кукурудзи, ц/га |
Розв’язок. Результативною ознакою y є урожайність кукурудзи, а факторною x – строк збирання урожаю.
Для оцінки параметрів лінійного рівняння регресії складають систему нормальних рівнянь, що має вигляд
Розрахункові суми для складання систем нормальних рівнянь наведено в таблиці 7.10. Отже,
Таблиця 7.10. Розрахунок сум для складання систем нормальних рівнянь
| № з/п | x | y | xy | x | y | Y | _ 2 (Y – y) |
| А | |||||||
| 32,60 | 43,56 | ||||||
| 40,64 | 2,07 | ||||||
| 50,69 | 132,02 | ||||||
| 46,67 | 55,80 | ||||||
| 36,62 | 6,66 | ||||||
| 26,57 | 159,52 | ||||||
| 38,63 | 0,33 | ||||||
| 18,53 | 427,25 | ||||||
| 54,71 | 240,56 | ||||||
| 46,67 | 55,80 | ||||||
| Разом | - | 1123,57 |
392 = 10b0 + 237b1;
8731 = 237b0 + 5895b1.
Після розв’язку цієї системи будь-яким способом одержимо
Y = 86,87 – 2,01x.
При збільшенні строку збирання урожаю кукурудзи на один день її урожайність знижується в середньому на 2,01 ц/га.
На підставі рівняння регресії обчислюють теоретичні значення Y для всіх елементів сукупності. Наприклад, для першого господарства Y1 = 86,87 – 2,01х27 = 32,6 ц/га.
Теоретичні значення Y використовують для обчислення коефіцієнту детермінації
,
де 
– факторна, 
– загальна дисперсія.
Отже, 
Таким чином, 85,3% варіації урожайності кукурудзи лінійно пов’язані зі строком збирання урожаю.
Перевірку істотності зв’язку здійснюють за допомогою F-критерію, або 
для ступенів вільнoсті:
k1 = m – 1 = 2 – 1 = 1;
k2 = n – m = 10 – 2 = 8,
де m – число параметрів рівняння регресії для лінійного рівняння (m = 2), а n – кількість елементів сукупності (n = 10).
Критичне значення 
для імовірності 0,95 згідно з додатком становить 
(1,8) = 0,399. Фактичне значення = 0,853 перевищує критичне, що свідчить про істотність зв’язку.
Завдання 7.12
Необхідно:
– за результатами соціологічного опитування робітників-верстатників (таблиця 7.11) обчислити коефіцієнт асоціації, перевірити істотність зв’язку з імовірністю 0,95.
Дані для виконання:
Таблиця7.11. Дані соціологічного опитування робітників-верстатників
| Чи задоволені ви темпами кваліфікаційного зростання | Чи маєте намір оволодіти суміжною професією | Разом | |
| так | ні | ||
| Так | |||
| Ні | |||
| Разом |
Розв’язок. Коефіцієнт асоціації обчислюють за формулою
,
де 
– частоти відповідних комбінацій ознак. За розрахунком коефіцієнт асоціації становить +0,46, що свідчить про наявність прямого зв’язку між темпами кваліфікаційного зростання і набуттям суміжних професій,
.
Перевірку істотності зв’язку здійснюють за допомогою критерію c 
, статистична характеристика якого функціонально пов’язана з коефіцієнтом асоціації,
c = nA 
.
Критичне значення c для рівня істотності a = 0,05 і числа ступенів вільності K = 1 становить c 0,95 (1) = 3,84 (див. додаток).
Фактичне значення c = 100 х 0,46 = 21,2 більше від критичного. Отже, зв’язок між темпами кваліфікаційного зростання і набуттям суміжних професій істотний.
Завдання 7.13
Необхідно:
– за даними таблиці 7.12 обчислити коефіцієнт співзалежності; з імовірністю 0,95 перевірити істотність зв’язку між ознаками.
Дані для виконання:
Таблиця7.12. Дані комбінаційного розподілу подружніх пар за віком, років
| Вік дружини | Вік чоловіка | Разом | ||
| 15 – 29 | 30 – 44 | 45 і більше | ||
| 15 – 29 | ||||
| 30 – 44 | ||||
| 45 і більше | - | |||
| Разом |
Розв’язок. Оскільки число груп за обома ознаками однакове, використовуємо формулу коефіцієнта співзалежності Чупрова