![]() |
![]() |
Категории: АстрономияБиология География Другие языки Интернет Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Механика Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Транспорт Физика Философия Финансы Химия Экология Экономика Электроника |
Линейно зависимые и линейно независимые векторыВекторы, их свойства и действия с ними Векторы, действия с векторами, линейное векторное пространство. Векторы- упорядоченная совокупность конечного количества действительных чисел. Действия: 1.Умножение вектора на число: лямда*вектор х=(лямда*х1, лямда*х2… лямда*хn).(3,4, 0, 7)*3=(9, 12,0,21) 2.Сложение векторов (принадлежат одному и тому же векторному пространству) вектор х+вектор у = (х1+у1, х2+у2,… хn+уn,) 3. Вектор 0=(0,0…0)---n En – n-мерное (линейное пространство) вектор х +вектор 0 = вектор х Теорема. Для того чтобы система n векторов, n- мерного линейного пространства была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы один из векторов были линейной комбинацией остальным. Теорема. Любая совокупность n+ 1ого вектора n- мерного линейного пространства явл. линейно зависимой. Сложение векторов, умножение векторов на числа. Вычитание векторов. Суммой двух векторов и называется вектор , направленный из начала вектора в конец вектора при условии, что начало совпадет с концом вектора . Если векторы заданы их разложениями по базисным ортам, то при сложении векторов складываются их соответствующие координаты. Рассмотрим это на примере декартовой системы координат. Пусть Покажем, что Из рисунка 3 видно, что
Сумма любого конечного числа векторов может быть найдена по правилу многоугольника (рис. 4): чтобы построить сумму конечного числа векторов, достаточно совместить начало каждого последующего вектора с концом предыдущего и построить вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего.
Свойства операции сложения векторов: В этих выражениях m, n - числа. Разностью векторов и называют вектор Второе слагаемое является вектором, противоположным вектору по направлению, но равным ему по длине. Таким образом, операция вычитания векторов заменяется на операцию сложения Вектор , начало которого находится в начале координат, а конец - в точке А (x1, y1, z1), называют радиус-вектором точки А и обозначают или просто . Так как его координаты совпадают с координатами точки А, то его разложение по ортам имеет вид Вектор , имеющий начало в точке А(x1, y1, z1) и конец в точке B(x2, y2, z2), может быть записан в виде где r2- радиус-вектор точки В; r1- радиус-вектор точки А. Поэтому разложение вектора по ортам имеет вид Его длина равна расстоянию между точками А и В УМНОЖЕНИЕ Так в случае плоской задачи произведение вектор на a = {ax; ay} на число b находится по формуле a · b = {ax · b; ay · b} Пример 1. Найти произведение вектора a = {1; 2} на 3. Решение 3 · a = {3 · 1; 3 · 2} = {3; 6} Так в случае пространственной задачи произведение вектора a = {ax; ay; az} на число b находится по формуле a · b = {ax · b; ay · b; az · b} Пример 1. Найти произведение вектора a = {1; 2; -5} на 2. Решение 2 · a = {2 · 1; 2 · 2; 2 · (-5)} = {2; 4; -10} Скалярное произведение векторов Из определения скалярного произведения следует, что где, например, Скалярный квадрат вектора: Свойства скалярного произведения: Скалярное произведение в координатах Если Угол между векторами Угол между векторами — угол между направлениями этих векторов (наименьший угол). Векторное произведение(Векторное произведение двух векторов. )— это псевдовектор, перпендикулярный плоскости, построенной по двум сомножителям, являющийся результатом бинарной операции «векторное умножение» над векторами в трёхмерном Евклидовом пространстве. Произведение не является ни коммутативным, ни ассоциативным (оно является антикоммутативным) и отличается от скалярного произведения векторов. Во многих задачах инженерии и физики нужно иметь возможность строить вектор, перпендикулярный двум имеющимся — векторное произведение предоставляет эту возможность. Векторное произведение полезно для «измерения» перпендикулярности векторов — длина векторного произведения двух векторов равна произведению их длин, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы параллельны либо антипараллельны. Векторное произведение определено только в трёхмерном и семимерном пространствах. Результат векторного произведения, как и скалярного, зависит от метрики Евклидова пространства. В отличие от формулы для вычисления по координатам векторов скалярного произведения в трёхмерной прямоугольной системе координат, формула для векторного произведения зависит от ориентации прямоугольной системы координат или, иначе, её «хиральности» Коллинеарность векторов. Два ненулевых (не равных 0) вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Допустим, но не рекомендуется синоним — «параллельные» векторы. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены («сонаправлены») или противоположно направлены (в последнем случае их иногда называют «антиколлинеарными» или «антипараллельными»).
Смешанное произведение векторов(a, b,c) — скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c: (a,b,c)=a (b ×c) иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр). Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами( a,b,c) . Свойства Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, чтоСмешанное произведение в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и : Смешанное произведение в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и , взятому со знаком "минус": В частности, Если любые два вектора параллельны, то с любым третьим вектором они образуют смешанное произведение равное нулю. Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю. Геометрический смысл — Смешанное произведение по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами и ; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой. Компланарность векторов. Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскости Свойства компланарности Если хотя бы один из трёх векторов — нулевой, то три вектора тоже считаются компланарными. Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна. Смешанное произведение компланарных векторов . Это — критерий компланарности трёх векторов. Компланарные векторы — линейно зависимы. Это — тоже критерий компланарности. В 3-мерном пространстве 3 некомпланарных вектора образуют базис
Линейно зависимые и линейно независимые векторы. Линейно зависимые и независимые системы векторов.Определение. Система векторов Теорема (критерий линейной зависимости). Для того чтобы система век торов 1) Если среди векторов 2) Если среди векторов 2. Базис и размерность. Определение. Система линейно независимых векторов Теорема (о единственности разложения по базису). Каждый вектор Главное значение базиса заключается в том, что операции сложения векторов и умножения их на числа при задании базиса превращаются в соответствующие операции над числами – координатами этих векторов. А именно, справедлива следующая Теорема. При сложении двух любых векторов линейного пространства Определение. Векторное пространство Размерность векторного пространства, состоящего из одного нулевого вектора, принимается равной нулю. Размерность пространства Определение. Векторное пространство Выясним связь между понятиями базиса и размерности пространства. Теорема. Если Теорема. Если векторное пространство |