Критерий Дарбина-Уотсона обнаружения автокорреляции остатков модели регрессии
Помимо автокорреляционной и частной автокорреляционной функций для обнаружения автокорреляции остатков модели регрессии используется критерий Дарбина-Уотсона. Однако данный критерий можно применять только для обнаружения автокорреляции первого порядка между соседними рядами случайных остатков.
Предположим, что на основе собранных данных была построена линейная модель множественной регрессии, которая представлена в матричном виде:
Y=Xβ+εt.
Присутствующая в данной модели регрессии автокорреляция первого порядка может генерировать ошибку, определяемую по формуле:
εt=ρεt-1+νt
где ρ – коэффициент автокорреляции, |ρ|<1;
νt – независимые, одинаково распределённые случайные величины с нулевым математическим ожиданием и дисперсией G2(νt).
Перед исследователем стоит задача определения наличия автокорреляции первого порядка в построенной модели регрессии.
Выдвигается основная гипотеза о незначимости коэффициента автокорреляции первого порядка:
H0: ρ1=0.
Обратная или конкурирующая гипотеза состоит в утверждении о значимости коэффициента автокорреляции:
H0: ρ1≠0.
Проверка выдвинутых гипотез осуществляется с помощью критерия Дарбина-Уотсона.
Наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона (вычисленное на основе выборочных данных) сравнивают с критическим значением критерия Дарбина-Уотсона, которое определяется по специальным таблицам.
Критическое значение критерия Дарбина-Уотсона определяется в зависимости от значений верхней d1 и нижней d2 границ критерия по специальным таблицам. Данные границы определяются в зависимости от объёма выборочной совокупности n и числа степеней свободы (h-1), где h – количество оцениваемых по выборке параметров.
Наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона при проверке основной гипотезы вида H0: ρ1=0 определяется по формуле:
где et – остатки модели регрессии в наблюдении t, определяемые по формуле:
et-1 – остатки модели регрессии в наблюдении t-1, определяемые по формуле:
Приближённое значение величины критерия Дарбина-Уотсона можно также рассчитать по формуле:
dнабл≈2(1-r1),
где r1 – выборочный коэффициент автокорреляции первого порядка. В зависимости от величины данного коэффициента, наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона определяется следующим образом:
1) если r1=0, то dнабл=2;
2) если r1=+1, то dнабл=0;
3) если r1=-1, то dнабл=4.
Если коэффициент автокорреляции является положительной величиной, то при проверке гипотез возможно возникновение следующих ситуаций.
Если наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона меньше критического значения его нижней границы, т. е. dнабл‹d1, то основная гипотеза об отсутствии автокорреляции первого порядка между остатками модели регрессии отклоняется.
Если наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона больше критического значения его верхней границы, т. е. dнабл>d2, то основная гипотеза об отсутствии автокорреляции первого порядка между остатками модели регрессии принимается.
Если наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона находится между верхней и нижней критическими границами, т. е. d1< dнабл< d2, то достаточных оснований для принятия единственно правильного решения нет, необходимы дополнительные исследования.
Если коэффициент автокорреляции является отрицательной величиной, то при проверке гипотез возможно возникновение следующих ситуаций.
Если наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона больше критической величины 4 – d1, т.е. dнабл>4 – d1, то основная гипотеза об отсутствии автокорреляции первого порядка между остатками модели регрессии отклоняется
Если наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона меньше критической величины 4 – d2, т. е. dнабл‹4 – d2, то основная гипотеза об отсутствии автокорреляции первого порядка между остатками модели регрессии принимается.
Если наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона находится в критическом интервале между величинами 4 – d1 и 4– d2, т.е. 4 – d1< dнабл<4 – d2, , то достаточных оснований для принятия единственно правильного решения нет, необходимы дополнительные исследования.