Дифференцирование ФКП. Аналитические функции
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО (ФКП)
Комплексные числа и операции над ними
Комплексным числом 
называется пара действительных чисел 
, записанных в определенном порядке: 
. Множество комплексных чисел будем обозначать 
. Одним из обозначений служит запись вида
,
называемая алгебраической формой записи комплексного числа . В этой записи 
называется действительной, 
- мнимой частями комплексного числа (для этого употребляется также запись 
, 
); 
называется «мнимой единицей»: 
. Тригонометрическая форма записи комплексного числа имеет вид:
.
Здесь величина 
называется модулем комплексного числа; аргумент комплексного числа 
определяется из равенств 
, 
. Главное значение аргумента комплексного числа 
заключено в промежутке 
и вычисляется по формуле
Показательная форма записи комплексного числа
.
Арифметические действия над комплексными числами:
Равенство комплексных чисел 
если 
.
Сложение 
.
Вычитание 
.
Умножение 
,
в тригонометрической форме:
.
Деление 
, 
,
в тригонометрической форме:
.
Сложение и умножение комплексных чисел подчиняются законам:
1. 
(коммутативность сложения);
2. 
(ассоциативность сложения);
3. 
(коммутативность умножения);
4. 
(ассоциативность умножения);
5. 
(дистрибутивность умножения относительно сложения).
Определение.Комплексное число 
называется сопряженным комплексному числу 
.
Свойства операции сопряжения:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
Вычисление корня из комплексного числа:
,
. Здесь - модуль комплексного числа .Корни 
расположены на комплексной плоскости в вершинах правильного 
-угольника, вписанный в окружность радиуса 
с центром в точке 
.
Возведение в степень. Формула Муавра.
.
Элементарные функции комплексного переменного
Определение.В области 
определена функция комплексного переменного 
: 
, если 
поставлено в соответствие одно (однозначная функция) или несколько (многозначная функция) значений 
. Пусть 
. Тогда
.
Функция комплексного переменного не имеет графика: она соответствует заданию двух действительных функций переменных и :
, 
.
Геометрический смысл ее состоит в осуществлении отображения точек комплексной плоскости 
на соответствующие точки комплексной плоскости 
.
Показательная функция 
:
.
Тригонометрические функции 
и 
:
;
.
Справедливы формулы Эйлера:
.
Тригонометрические функции 
и 
:
; 
.
Гиперболические функции 
,…, 
:
; 
;
; 
.
Имеют место соотношения:
Логарифмическая функция 
:
Обратные тригонометрические функции:
Обратные гиперболические функции:
Общая степенная функция 
и общая показательная функция 
:
Дифференцирование ФКП. Аналитические функции
Определение.Однозначная функция 
называется дифференцируемой в точке 
, если существует предел
, 
.
Этот предел называется производной функции в точке . Обозначается 
, 
.
Теорема.Для того, чтобы функция 
была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы функции и были дифференцируемы в этой точке и выполнялись условия Коши-Римана (д’Аламбера-Эйлера)
.
Определение.Функция называется аналитической в данной точке , если она дифференцируема как в самой точке , так и в некоторой ее окрестности.
Определение.Функция называется аналитической в области , если она аналитическая в каждой точке данной области.
Формулы дифференцирования ФКП аналогичны соответствующим формулам дифференцирования функций действительной переменной.