Характеристики зависимости составляющих системы случайных величин
Условным законом распределения составляющей называют совокупность условных вероятностей
, вычисленных при условии, что вторая составляющая приняла определенное фиксированное значение
. Аналогично определяется условный закон распределения для составляющей
.
По известному закону распределения дискретной двумерной СВ можно вычислить условные вероятности
,
где – фиксированное значение от 1 до
;
.
Аналогично для условного распределения :
.
Для непрерывных СВ условные законы распределения задаются условной плотностью вероятности :
.
Аналогично условная плотность вероятности для при фиксированном
:
.
По условному закону распределения находится условное математическое ожидание.
Для дискретных СВ при фиксированном :
.
Для непрерывных СВ
,
где условная плотность случайной величины
при
.
Корреляционным моментом случайных величин
,
называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин
.
Для дискретных СВ
.
Для непрерывных СВ
.
Корреляционный момент двух независимых величин равен нулю .
Коэффициентом корреляции называется отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений
:
.
Коэффициент характеризует степень тесноты линейной зависимости. Для любых СВ
.
ЗадачИ
1. Задано распределение вероятности двумерной дискретной случайной величины . Найти законы распределения ее составляющих
и
.
![]() | ![]() | ||
0,15 | 0,13 | 0,27 | |
0,05 | 0,2 | 0,2 |
2. Задана интегральная функция распределения двумерной случайной величины:
Найти вероятность попадания случайной точки в прямоугольник:
. Определить плотность распределения
.
3. Задана двумерная дискретная случайная величина
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | 0,12 | 0,2 | 0,32 |
![]() | 0,02 | 0,1 | 0,24 |
Найти условный закон распределения при
. Определить значение условного математического ожидания
.
4. Доказать, что если две случайные величины ,
связаны линейной функциональной связью, т.е.
, то абсолютная величина коэффициента корреляции
.
5.Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
а) | ![]() | б) | ![]() | –1 | ||||||
![]() | 0,2 | 0,1 | 0,7 | ![]() | 0,1 | 0,2 | 0,7 |
Найти закон распределения случайной величины Y = x4 и ее математическое ожидание.
6.Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения f (x). Определить дифференциальную функцию g (y) случайной величины Y, если:
а) Y = x + 1 при –¥ < x < ¥;
б) Y = 2x при –а < x < а.
7.Независимые дискретные случайные величины заданы следующими законами распределения:
а) | ![]() | б) | ![]() | ||||||
![]() | 0,3 | 0,5 | 0,2 | ![]() | 0,2 | 0,8 |
Найти закон распределения случайной величины Z, если:
а) ;
б) .
8.Независимые случайные величины X и Y заданы плотностями распределений:
при
;
при
.
Найти плотность распределения композиции этих законов.
9.Случайная величина X распределена нормально, причем математическое ожидание равно 0. Найти плотность распределения случайной величины .
10. Найти закон распределения составляющих двумерной случайной величины, которая задана следующим законом распределения:
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | 0,12 | 0,18 | 0,1 |
![]() | 0,1 | 0,11 | 0,39 |
- Найти вероятность того, что составляющая
двумерной случайной величины примет значение
< 1/2, а величина
примет значение
< 1/3, если известна интегральная функция распределения системы:
.
- Найти вероятность попадания случайной точки в прямоугольник, ограниченный прямыми
=
/4;
=
/2;
=
/6;
=
/3 при следующей функции распределения:
.
13. Найти плотность распределения системы двух случайных величин по известной функции распределения системы:
.
14.Задана плотность распределения системы двух случайных величин:
Определить постоянную С.
15.Система двух случайных величин распределена равномерно в прямоугольнике, ограниченном прямыми: = 4;
= 6;
= 10;
= 15. Известно, что:
Найти: а) дифференциальную функцию;
б) интегральную функцию.
16.Двумерная случайная величина задана плотностью совместного распределения:
Доказать, что составляющие Х и У являются независимыми.
17.Система двух случайных величин X, Y подчинена закону распределения с плотностью:
.
Найти: а) интегральную функцию распределения;
б) вероятность попадания случайной точки в квадрат со стороной [0; 1] на [0; 1].