Модуль 2 Поверхностные интегралы. Элементы теории поля

Банк задач

Математика

III семестр

ГРФ 2012-2013

Модуль 1 Кратные, криволинейные интегралы.

1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями Д: .

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y = 5 - x2; y = 1.

3. Вычислить:

4.

 
 

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .

5. Найти площадь области, ограниченной линиями y = ln(3x), x=1/3, x=e.

6. Вычислить , D: y=x3, x=0, y=1.

7. Вычислить

8. Вычислить

9. Вычислить .

10. Найти объем тела, ограниченного поверхностями

11.
Вычислить , если контур С: y=2x2; от (.) А(1,2) до (.) В(2,8).

12. Вычислить по контуру С: .

13. Вычислить , где С: x2+y2=4, z=1

14. Вычислить интеграл (x2y-3x)dx+(y2x+2y)dx

x=3cos t

где дуга эллипса y=2sin t t є, [0,]

15. Вычислить , вдоль ломаной ABC, где А(1,2), В(1,5), С(3,5).

 

Модуль 2 Поверхностные интегралы. Элементы теории поля.

 

16. Дана функция U(A)=U(x,y,z) и точки A1(1;-1;2), A2(3;4;-1)

Вычислить:

А) производную этой функции в точке A1 по направлению вектора ;

В) grad U(A1).

17. Найти векторные линии векторного поля F=x+yј

18. Найти div , если .

19. Найти rot , если .

20. . Найти rot .

21. . Найти rot(rot ).

22. Установить потенциальность поля и найти его потенциал.

23. Установить соленоидальность векторного поля . Найти векторный потенциал.

24. Проверить, является ли векторное поле потенциальным, соленоидальным. .

25. С помощью формулы Остроградского - Гаусса вычислить поток поля =(x+y, x-z, 2y-2z) через поверхность пирамиды: x=0, y=0, z=0, 2x-3y+3z+6=0.

26. Найти поток векторного поля

через часть плоскости p:x+2y+3z=1, расположенную в I октанте.

27.

 
 

Найти циркуляцию векторного поля

 
 

вдоль контура

28.

 
 

Найти работу силового поля вдоль дуги параболы y=x2- 2x- 3 от т. А(0, -3) до т. В(3, 0).

29. Найти циркуляцию векторного поля по замкнутому контуру С, образованному пересечением плоскости (р) с координатными плоскостями, и поток поля через поверхность пирамиды, образованной плоскостями (р), x=0, y=0, z=0 в направлении внешней нормали к ее поверхности: .

30. . Найти grad(div ).

 

Модуль 3 Элементы гармонического анализа. Ряды. Численные методы. (Основы вариационного анализа.-самостоятельно)

 

Ряды

31. Исследовать сходимость ряда .

32. Исследовать сходимость ряда .

33. Исследовать сходимость ряда:

34. Исследовать сходимость ряда:

35. Исследовать на абсолютную или условную сходимость

36. Исследовать сходимость ряда .

37. Исследовать сходимость знакочередующегося ряда

38. Найти область сходимости степенного ряда .

39. Найти область сходимости степенного ряда

40. Найти интервал сходимости и исследовать сходимость на концах интервала

41. Разложить в ряд Тейлора функцию y= , найти область сходимости ряда

 

Элементы гармонического анализа.

42. Является ли функция периодической?

43. Является ли функция периодической?

44. Найти период функции .

45. Написать закон гармонических колебаний с амплитудой 5, частотой 2 и начальной фазой .

46. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) =1 при 0 П и f(-x) = -f(x).

47. Разложить в ряд Фурье функцию y = на (-П,П)

48. Разложить функцию в ряд Фурье (при необходимости продолжив её периодически на всю числовую ось)

y=x-1 , -2<x 2

49. Разложить функцию на промежутке (-П, П] в ряд Фурье, найти и построить амплитудный и фазовый спектры функции

50. Разложить функцию в ряд Фурье, построить амплитудный и фазовый спектры функции

f(x) =
-1 при x [-2 ;1)
x при x [-1; 1)
1 при x [1;2)

51. Представить интегралом Фурье функцию

Основы вариационного анализа.*(самостоятельно)

52. Найти экстремали функционала, решив уравнение Эйлера.

Численные методы

53. Вычислить приближенно значение функции в точке x=4.02.

54. Дана таблица значений функции

N
x 0,1 0,3 0,6 0,8
f(x) 0,32 0,58 0,89 1,1

Написать интерполяционный многочлены Лагранжа, Ньютона.

Вычислить значение функции в точке 0,15 при помощи многочлена Ньютона и схемы Эйткена.

55. Вычислить с точностью =0,01.

56. Вычислить интеграл с точностью = 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и почленно его проинтегрировав

57. Найти четыре первых (для ДУ II порядка три первых) отличных от нуля члена разложения искомого частного решения

,

58. Провести отделение корней уравнения .

59. Найти корни уравнения методами половинного деления, хорд, касательных.

60. Вычислить интеграл по формулам Симпсона, трапеций, прямоугольников.

61. Методом Эйлера найти значение решения дифференциального уравнения для которого y(1)=1, в пяти точках отрезка [1;2], приняв h=0,2.