Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения с разделёнными переменными:
Простейшие дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными:
Общий вид:
(разделим на
, т. е. делим на то, что мешает проинтегрировать уравнение)
и далее проинтегрируем, как с разделёнными переменными.
Например:
(т. к. сумма логарифмов есть логарифм произведения)
Линейные дифференциальные уравнения
Общий вид:
. Решаются такие уравнения:
,
Из этого уравнения выражаем V, подставляем в предыдущее уравнение, находим U.
Ответ записываем так: . Например:
Однородные дифференциальные уравнения
Общий вид:
, где
и
— однородные функции
— однородная, если
.
Решаются такие уравнения заменой . Например:
(умножим на
)
(разделим на
)
. После интегрирования получим:
Ответ: .
Дифференциальные уравнения второго порядка
Уравнение, содержащее производные или дифференциалы второго порядка, называются дифференциальными уравнениями второго порядка:
Общим решением уравнения называется функция
, содержащая две произвольные постоянные
и
и удовлетворяющая условиям:
1. при любых значениях постоянных и
функция
является решением дифференциального уравнения;
2. каковы бы не были начальные условия , существуют единственные значения
и
такие, что функция
является решением дифференциального уравнения и удовлетворяет начальным условиям.
Частным решением дифференциального уравнения второго порядка уравнения называется всякое решение , получающееся из общего решения
при фиксированных значениях
и
.
Простейшие уравнения второго порядка имеют вид:
или
. Уравнение такого вида решается двукратным интегрированием.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (ЛОДУ)
ЛДУ второго порядка называются уравнения вида , где
и
— постоянные величины, а
— непрерывная функция.
Уравнения вида называются ещё неоднородными дифференциальными уравнениями второго порядка.
Если , то уравнение
принимает вил:
— ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами
и
.
Теорема 1
Если — решение уравнения
, то и
, где
— постоянный множитель, также будет решением данного уравнения.
Теорема 2
Если ,
— решение уравнения
, то и сумма
также будет решением данного уравнения.
Два частных решения уравнения называются линейно зависимыми, если одно из них может быть получено умножением другого на какой-либо постоянный множитель, в противном случае частное решение называют линейно независимыми.
Теорема 3
Если и
— линейно независимые частные решения уравнения
, то общее решение его будет
, где
и
— произвольные постоянные величины.
Частными линейно-независимыми решениями уравнения являются функции вида:
, где k — произвольное число, которое нужно найти.