Преобразовние платежной матрицы
Игра с природой
В отличие от задач теории игр в задачах теории статистических решений неопределенная ситуация не им. антагонистичес кой конфликтной окраски и зависит от объективной действительности, которую принято называть "природой".
В матричных играх с природой в качестве игрока II выступает совокупность неопределенных факторов, влияющих на эффективность принимаемых
решений.
Матричные игры с природой отличаются от обычных матричных игр только тем, что при выборе оптимальной стратегии игроком I уже нельзя
ориентироваться на то, что игрок II будет стремиться минимиз-вать свой проигрыш. Поэтому наряду с платежной матрицей вводится матрица рисков:
где - величина риска игрока I при использовании хода i в условиях j , равная разности
между выигрышем
который игрок I получил бы, если бы знал, что установится условие j , т.е.
и выигрышем , который он получит, не зная при выборе хода i , что установится условие j .
Таким образом, платежная матрица однозначно преобразу ется в матрицу рисков, а обратное преобразование неоднозначно.
Пример:
Матрица выигрышей:
Матрица рисков:
Возможны две постановки задачи о выборе решения в матричной игре
с природой:
- максимизация выигрыша;
- минимизация риска.
Задача принятия решений может быть поставлена для одного из двух условий:
- в условиях риска, когда известна ф-ция распределения вероятностей стратегий природы , например, случайной величины появления каждой
из предполагаемых конкретных экономических ситуаций;
- в условиях неопределенности, когда такая ф-ция распределения
вероятностей неизвестна.
Решение задач теории статести ческих решений в условиях риска
При принятии решений в условиях риска игроку I известны вероятности
, j=
, наступления состояний природы.
Тогда игроку I целесообразно выбрать ту стратегию, для которой среднее значение выигрыша, взятое по строке, максимально:
При решении этой задачи с матрицей риска получаем такое же решение,соответствующее минимальному среднему риску:
Основная теорема теории игр
или теорема о минимаксе. Если – матрица игры Г и для всех
и
, то величины
и
существуют и равны между собой (эта величина и является ценой игры v).
Из теоремы следует, что всякая матричная игра имеет цену; игрок в матричной игре всегда имеет оптимальную стратегию.
Преобразовние платежной матрицы.
Чтобы цена игры была положи тельной необходимо прибывить некоторое положительное число (с), с>0.
Получим новую игру =max
+cv+c+c
Решая новую игру , мы найдем величину v+c, тогда для исход ной игры, зная с , цену исход ной v , - не изменятся. Иногда при непосредственно рассмотрении матрицы игры можно заметить, что некоторые чистые стратегии м.б. использованы лишь с нулевой вероятностью