Арифметический квадратный корень
Степень с натуральным и рациональным показателем. Арифметический корень
С
тепенью с натуральным показателем n числа а называется произведение n сомножителей равных этому числу.
- всего n сомножителей.
Например, .
Число а называют основанием, а число n называют показателем степени.
Степень с показателем 2 называют квадратом, а с показателем 3 – кубом.
Примеры:
Корнем n-ой степени (n-натуральное число) из числа a ( обозначение ) называют такое число x, степень которого равна a (
). Эту операцию называют извлечением корня n-ой степени из a. Корень из положительного числа – всегда число положительное.
Корень второй степени не пишут, то есть .
Например, , а не -2, хотя
.
Если число n – четное, то операция извлечения корня из отрицательного числа в поле действительных чисел не определена. Например, действительного числа не существует.
Степенью с рациональным показателем m/n числа x (степенью с дробным показателем) называют число , m и n – целые числа.
Например,
Любое число, кроме 0, в нулевой степени равно 1 . Операция
не определена.
Еще одно важное соотношение
.
Например:
Степень с натуральным показателем {1, 2, 3,...}
Определем понятие степени, показатель которой — натуральное число (т.е. целое и положительное).
- По определению:
.
- Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя:
- Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза:
.
Возвести число в натуральную степень — значит умножить число само на себя
раз:
Степень с целым показателем {0, ±1, ±2,...}
Если показателем степени является целое положительное число:
, n > 0
Возведение в нулевую степень:
, a 0
Если показателем степени является целое отрицательное число:
,a 0
Прим: выражение не определено, в случае n 0. Если n > 0, то
Пример 1.
Степень с рациональным показателем
Если:
- a > 0;
- n — натуральное число;
- m — целое число;
Тогда:
Пример 2.
Свойства степеней
Произведение степеней | ![]() |
Деление степеней | ![]() |
Возведение степени в степень | ![]() |
Пример 3.
Корень
Арифметический квадратный корень
Уравнение имеет два решения: x=2 и x=-2. Это числа, квадрат которых равен 4.
Рассмотрим уравнение . Нарисуем график функции
и увидим, что и у этого уравнения два решения, одно положительное, другое отрицательное.
Но в данному случае решения не являются целыми числами. Более того, они не являются рациональными. Для того, чтобы записать эти иррациональные решения, мы вводим специальный символ квадратного корня.
Арифметический квадратный корень — это неотрицательное число, квадрат которого равен
, a 0. При a < 0 — выражение
не определено, т.к. нет такого действительного числа, квадрат которого равен отрицательному числу
.
Корень из квадрата
Например, . А решения уравнения
соответственно
и
Кубический корень
Кубический корень из числа — это число, куб которого равен
. Кубический корень определен для всех
. Его можно извлечь из любого числа:
.
Корень n-ой степени
Корень -й степени из числа
— это число,
-я степень которого равна
.
Если — чётно.
- Тогда, если a < 0 корень n-ой степени из a не определен.
- Или если a 0, то неотрицательный корень уравнения
называется арифметическим корнем n-ой степени из a и обозначается
Если — нечётно.
- Тогда уравнение
имеет единственный корень при любом
.
Пример 4.
Таблица корней