Образец выполнения задания № 2
Контрольная работа № 10
Контрольная работа № 10 состоит из четырех заданий. Ниже подробно рассмотрены варианты решения заданий.
Образец выполнения задания № 1
Задача.При проведении испытаний материала на разрыв 50 значений, характеризующих прочность на разрыв. По этим данным составлен сгруппированный вариационный ряд (табл. 1; масштаб Па).
Таблица 1
![]() | 120-140 | 140-160 | 160-180 | 180-200 | 200-220 | 220-240 | 240-260 | 260-280 |
![]() | ||||||||
![]() |
Оценить согласие полученных данных с нормальным распределением при уровне значимости и получить приближенную интервальную оценку для параметра
с надежностью
.
Решение.Введем условную варианту, определим шаг и выбрав ложный нуль
, и найдем
и
(см. табл.2 )
Таблица 2
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
-3 -2 -1 | -6 -8 -10 | |||||
![]() |
По данным этой таблицы имеем и
,
,
Найдем теоретические частоты для интервалов , используя формулу вероятности попадания значений в этот интервал:
.
Для нормального распределения с параметрами и
Таблица 3
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
120-140 140-160 160-180 180-200 200-220 220-240 240-260 260-280 | -2,43 -1,78 -1,13 -0,48 0,17 0,81 1,46 2,11 | -1,78 -1,13 -0,48 0,17 0,81 1,46 2,11 2,73 | -0,4924 -0,4624 -0,3708 -0,1844 0,0675 0,2910 0,4279 0,4826 | 0,4624 -0,3708 -0,1844 0,0675 0,2910 0,4279 0,4826 0,4968 | 0,0300 0,0916 0,1864 0,2519 0,2235 0,1369 0,0547 0,0142 | 1,5≈1 4,58≈5 9,34≈9 12,59≈13 11,17≈11 6,87≈7 2,78≈3 0,71≈1 |
Найдем выборочное значение , объединив крайние интервалы для маленьких частот
(табл. 4)
Таблица 4
Номер ![]() | Границы ![]() | ![]() | ![]() | ![]() ![]() | ![]() | ![]() |
120-140 140-160 160-180 180-200 200-220 220-240 240-260 260-280 | ![]() ![]() | 0,111 0,143 | ||||
![]() | ![]() |
Так как теперь, после объединения, число интервалов , а число наложенных связей
, то число степеней свободы
и поэтому по таблице критических значений
имеем
. Сравнивая найденное значение
с критическим (0,254<7,82), определяем, что рассматриваемые данные можно считать полученными из нормально распределенной совокупности.
Для получения интервальной оценки найдем из условия
,т.е.
и
, и радиус интервала
.
Доверительный интервал для параметра с надежностью
есть:
.
Пусть для изучаемой системы случайных величин (X,Y) получена выборка значений выборки , каждое значение X, встречается с частотой
, а каждое значение
встречается соответственно с частотой
. Условные средние
и
представляют отдельные значения для регрессий, соответственно, Yна Xи Xна Y:
,
.
Образец выполнения задания № 2
Задача.Даны выборочные варианты и соответственные частоты
количественного признака Х:
10 15 20 25 30
6 16 50 24 4
Найти методом произведений выборочные среднюю, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Решение.Составим расчетную таблицу, для чего:
1) запишем варианты в первый столбец;
2) запишем частоты во второй столбец; сумму частот (100) поместим в нижнюю клетку столбца;
3) в качестве ложного нуля С выберем варианту 20 (эта варианта имеет наибольшую частоту); в клетке третьего столбца, которая принадлежит строке, содержащей варианту 20,пишем 0; над нулем последовательно записываем условные варианты -1, -2, а под нулем – последовательно 1,2;
4) произведения частот на условные варианты записываем в четвертый столбец; отдельно находим сумму (-28) отрицательных и отдельно сумму (32) положительных чисел; сложив эти числа, их сумму (4) помещаем в нижнюю клетку столбца;
5) произведения частот на квадраты условных вариант запишем в пятый столбец; сумму чисел столбца (80) помещаем в нижнюю клетку столбца;
6) произведения частот на квадраты условных вариант, увеличенных на единицу, запишем в шестой (контрольный) столбец, сумму чисел столбца (188) помещаем в нижнюю клетку столбца.
В итоге получим следующую расчетную таблицу:
![]() | ![]() | ![]() | ![]() ![]() | ![]() | ![]() |
-2 -1 | -12 -16 -28 | ||||
n=100 | ![]() | ![]() | ![]() |
Контроль:
;
.
Совпадением найденных сумм свидетельствует о том, что вычисления произведены правильно.
Вычислим условные моменты первого и второго порядков:
Найдем шаг (разность между двумя соседними вариантами): .
Найдем искомую выборочную среднюю:
Найдем искомую выборочную дисперсию:
Найдем искомое выборочное среднее квадратическое отклонение: