Краткие теоретические сведения. 1.1. Напряженно-деформированное состояние балки при косом изгибе

Рассмотрим более сложный случай изгиба — косой изгиб, при котором плоскость действия силы не совпадает ни с одной из осей симметрии. Косой изгиб, приводящий балку в напряженно-деформирован­ное состояние, имеет следующие характерные особенности с точки зрения внешних сил, деформаций, внутренних усилий и напря­жений.

На балку действуют одновременно и вертикальная, и горизон­тальная внешние силы или одна наклонная внешняя сила, которая может быть разложена на две (рис. 1, а). Разложим дей­ствующую под углом силу F на две составляющие F_х и F_у по на­правлениям центральных осей инерции х и у (рис. 1, б, в):

F_х = Fsin α; F_у = Fсоs α.

Рис. 1. Иллюстрации к вопро­су о косом изгибе консоли пря­моугольного сечения

Заменив силу F двумя составляющими, мы привели случай косого изгиба к двум прямым изгибам, вызываемым совместно действующими силами Fх и Fу в двух главных плоскостях бруса.

Деформации при косом изгибе заключаются в том, что балка прогибается от действия каждой из сил (или каждой составляющей) в плоскости их действия, т.е. она одновременно прогибается и в вертикальной, и в горизонтальной плоскостях. Изогнутая ось при этом не лежит ни в одной из указанных плоскостей. Так обстоят дела с прямоугольными сечениями, двутаврами, швеллерами, у которых разные геометрические характеристики относительно осей х и у. При сечениях в форме круга, кольца, многогранника, имеющих бесконечное множество центральных осей, балка прогибается в плоскости, которая совпадает с линией действия силы.

Поскольку балка прямоугольного сечения изгибается в двух плоскостях, то и внутренние усилия М и Q будут возникать в каждой из плоскостей: в одной — Мх и Qх, в другой — Му и Qу. Например, изгибающие моменты в сечении АВСD

Мх = Fу1= F1 cosα; Му = Fх1 =F l sinα.

Нормальные и касательные напряжения при косом изгибе могут быть найдены по внутренним усилиям. Например, нормальные напряжения определяют по формулам:

σ_Мх = Mx/Wx; σ_Му = My/Wy.

Полное напряжение в крайних точках А и С

σ = σ_Мх + σ_Му = Mx/Wx + My/Wy.

По той же формуле можно найти напряжения в точках В и D. Они будут меньше, чем в точках А и С.

При этом следует учитывать знаки: «плюс» соответствует растянутой зоне, «минус» — сжатой зоне (рис. 1, г).

Интересно отметить, что линия действия силы F, приложенной к вертикали под углом α, и направление прогиба, образующее с вертикалью угол β (рис. 1, д), не совпадают. Докажем это.

Нормальные напряжения в вертикальной и горизонтальной плоскостях на произвольном расстоянии от нейтральной оси: σ_Мх = Mx* y/Jx; σ_Му = My* x/Jy.

Полное напряжение в произвольной точке с координатами х и у

σ = σ_Мх + σ_Му = Mx* y/Jx + My* x/Jy.

Так как Мх = М соs α.; и Му = М sin α,

σ =М (y соs α /Jx + x sin α /Jy)

Поскольку на нейтральной оси напряжения равны нулю, то уравнение ее с учетом знаков имеет вид

y соs α /Jx - x sin α /Jy = 0,

или y /x = sin α Jx/ соs α Jy

Как видно по рис. 1, tg β =y/x , отсюда tg β= tg α * Jx/Jy, т.е. β≠α.

12
• Далее ⇒