Уравнение гармонических колебаний
Наиболее распространены гармонические колебания, то есть колебания, подчиняющиеся закону синуса или косинуса. Это происходит, как будет показано далее, если возвращающая сила пропорциональна смещению. Пусть координата тела изменяется в зависимости от времени по закону
. (14.1)
Здесь А – амплитуда колебаний, то есть наибольшее смещение тела от положения равновесия, ω – циклическая частота, равная числу колебаний за 2π секунд. Аргумент косинуса называется фазой, φ – начальной фазой колебаний.
Процесс колебаний характеризуются периодом колебаний (рис. 14.2). Это время одного полного колебания, за которое фаза колебаний возрастает на 2π радиан. Кроме того, используется понятие частоты
, которая равна числу колебаний в единицу времени.
Скорость и ускорение при гармонических колебаниях определим как производные от уравнения координаты
, (14.2)
. (14.3)
Из вида уравнений видно, что скорость и ускорение также изменяются со временем по гармоническим законам. Ускорение всегда направлено в сторону, противоположную смещению, то есть, всегда направлено к положению равновесия. Ускорение максимально в крайней точке траектории, при х=А, и равно . Максимальная скорость достигается телом при x = 0, в момент прохождения положения равновесия и равна
.
Механическая энергия колебаний равна сумме кинетической и потенциальной энергий
. (14.4)
При прохождении маятником положения равновесия кинетическая энергия достигает максимального значения, а потенциальная энергия становится равной нулю. Через четверть периода в крайнем положении максимального значения достигает потенциальная энергия, а кинетическая энергия становится равной нулю. По закону сохранения механической энергии полная энергия свободных колебаний постоянна
. (14.5)
Пружинный маятник
Рассмотрим колебания пружинного маятника на примере вертикальных колебаний вагона. Пусть вагон, опирающийся на пружины подвески, выведен из положения равновесия в вертикальномнаправлении и отпущен. Под действием сил упругости он начнет смещаться обратно к положению равновесия, увеличивая скорость движения. В положении равновесия он не остановится, а по инерции продолжит движение, пока сила упругости не остановит его. Потом движение под действием упругой силы повторится в обратном направлении, и возникнут собственные колебания вагона.
|
х0 – деформация первоначально свободных пружин под действием силы тяжести вагона,

Определим период свободных колебаний кузова вагона. Запишем уравнение второго закона Ньютона для смещения вагона под действием возвращающей силы упругости пружин подвески F= – kx
. (14.6)
Здесь ускорение записано как вторая производная от координаты по времени. Уравнение (14.4) – это дифференциальное уравнение второго порядка. Решением уравнения является функция, превращающая его в тождество. То есть эта функция и ее вторая производная должны иметь одинаковую зависимость от времени, но разного знака. В математике такими функциями являются функция синуса и косинуса и экспонента с мнимым показателем.
Ищем решение в виде гармонической функции x = A cos ωt. Вторая производная функции равна . Подставив искомое решение в дифференциальное уравнение второго закона Ньютона, убедимся, что оно превращается в тождество при условии, если циклическая частота колебаний равна
. Соответственно, период вертикальных свободных колебаний будет равен
. (14.7)
Период свободных вертикальных колебаний не зависит от амплитуды колебаний вагона. Период возрастает при увеличении массы вагона (например, при погрузке) и при уменьшении упругости пружин. Для пассажирских вагонов, с целью обеспечения комфорта пассажирам, упругость пружин подвески выбирается, сравнительно с грузовыми вагонами, небольшой, так чтобы частота собственных колебаний была бы около 2 Гц, при которой пассажир испытывает сонливость.
Амплитуда свободных колебаний А определяется энергией Е, сообщенной внешним воздействиям в начале при возбуждении колебаний. Энергия колебаний равна максимальному значению потенциальной энергии . Откуда амплитуда колебаний равна
. (14.8)
При вертикальных колебаниях вагона сила давления колес на рельсы из постоянной, равной силе тяжести вагона, превратится в пульсирующую по величине силу. Добавочная сила будет равна силе инерции F=ma или равной ей силе упругости пружин подвески F=kx,
. (14.9)
Периодическая нагрузка на колеса, рельсы, кузов вагона отрицательно влияет на вагоны, выводит их из строя раньше, чем постоянное воздействие даже большей величины силы. Колебания ухудшают сцепление колеса с рельсом. В момент минимального давления, может происходить частичное буксование, сход колеса с рельса. Поэтому возникшие колебания следует гасить с помощью амортизаторов.
Физический маятник
Физический маятник – это тело произвольной формы, точка подвеса которого расположена выше центра тяжести. Если в поле тяжести маятник отклонить от положения равновесия и отпустить, то под действием силы тяжести маятник стремится к положению равновесия, но, достигнув его, по инерции продолжает движение и отклоняется в противоположную сторону. Затем процесс движения повторяется в обратном направлении. В итоге маятник будет совершать вращательные собственные колебания.
Для вывода формулы периода собственных колебаний маятника применим основной закон динамики вращательного движения: угловое ускорение тела прямо пропорционально моменту силы и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно оси вращения:
e = . (14.10)
Момент силы по определению равен произведению силы на плечо силы. Плечо силы – это длина перпендикуляра, опущенного из оси вращения на линию действия силы. Для маятника плечо силы тяжести равно d = lsin a, где l – расстояние между осью вращения C и центром тяжести ц.м. маятника (рис. 14.4). При малых колебаниях маятника угол отклонения a сравнительно мал, а синусы малых углов с достаточной точностью равны самим углам. Тогда момент силы тяжести можно определить по формуле М=−mgl∙a. Знак минус обусловлен тем, что момент силы тяжести противодействует отклонению маятника. Так как угловое ускорение – это вторая производная от угла поворота по времени, то основной закон динамики вращательного движения (14.10) принимает вид
. (14.11)
Это дифференциальное уравнение второго порядка. Его решением должна быть функция, превращающая уравнение в тождество. Такой функцией может быть функция косинуса или синуса
a = a0sin(w t + j ). (14.12)
При подстановке решения (14.12) в дифференциальное уравнение (14.11), после сокращения, получим, что уравнение превращается в тождество, если циклическая частота колебаний равна . Циклическая частота связана с периодом колебаний соотношением T = 2p /w. Отсюда
. (14.13)
Эта формула позволяет экспериментально определять моменты инерции тел, если их представить физическим маятником, по измеренному периоду колебаний.