Вариационные ряды распределения
Построим вариационный ряд распределения регионов по величине выбросов в атмосферу.
Таблица 2.1
Вариационный ряд распределения регионов РФ по величине по величине выбросов в атмосферу загрязняющих веществ, от стационарных источников
| Группы | Частота | Середина | Нак. Частота | Часность | Нак. часность | Xi * Fi | Xi – 
| (Xi – )^2
| (Xi – )^2 * Fi
|
| 0,77 - 654,186 | 327,478 | 91,57% | 91,57% | 24888,328 | -123,52 | 15257,68 | 1159584,021 | ||
| 654,186 - 1307,602 | 980,894 | 3,61% | 95,18% | 2942,682 | 529,89 | 280787,65 | 842362,9537 | ||
| 1307,602 - 1961,018 | 1634,31 | 1,20% | 96,39% | 1634,31 | 1183,31 | 1400222,56 | 1400222,556 | ||
| 1961,018 - 2614,434 | 2287,726 | 2,41% | 98,80% | 4575,452 | 1836,73 | 3373562,40 | 6747124,798 | ||
| 2614,434 - 3267,85 | 2941,142 | 1,20% | 100,00% | 2941,142 | 2490,14 | 6200807,18 | 6200807,18 | ||
| Итого | - | - | - | 100,00% | 36981,91 | - | - | 16350101,51 |
Где 
рассчитывается по формуле:
= 
= 
= 445,56
Также, изобразим графически в виде гистограммы распределения и полигона, (см. рис. 2.1, 2.2)
Рис.2.1
Гистограмма распределения регионов РФ по величине выбросов в атмосферу загрязняющих веществ, от стационарных источников
Рис. 2.2
Полигон распределения регионов РФ по величине выбросов в атмосферу загрязняющих веществ, от стационарных источников
Построим кумуляту распределения регионов по величине выбросов в атмосферу, отложив по горизонтальной оси значения середины интервалов, а по вертикальной – накопленные частоты (см. рис. 2.3)
Рис.2.3
Кумулята распределения регионов РФ по величине выбросов в атмосферу загрязняющих веществ, от стационарных источников
Также построим огиву, отложив по горизонтальной оси значения накопленной частоты, а по вертикальной – середины интервалов. (см. рис. 2.4)
Рис.2.4
Огива распределения регионов РФ по величине выбросов в атмосферу загрязняющих веществ, от стационарных источников
Рассчитаем моду и медиану.
Модальным интервалом будет интервал 0,77 - 654,186 тыс.тонн., т.к. частота этого интервала наибольшая. Вычислим моду по формуле:
где xMo – нижняя граница модального интервала; xMo = 0,77
hМо – ширина модального интервала; 
= 653,416
fMo, fMo-1 и fMo+1 – частоты модального интервала, интервала, предшествующего модальному, и интервала, следующего за модальным.
fMo,=76; fMo-1 = 0 ;fMo+1= 3
В итоге:
Большинство данных регионов имеют величину выбросов около 
тыс.тонн.
Этот же интервал будет медианным, т.к. половина единиц совокупности (42) достигла значения внутри этого интервала. Вычислим медиану по формуле:
где хМе – нижняя граница медианного интервала, 
hМе – ширина медианного интервала, hМе 
653,416
SМе-1 – накопленная частота до медианного интервала, 
= 0
fMе – частота медианного интервала, 
Итак, половина регионов имеют величину выбросов меньше 
тыс.тонн, а половина – больше.
Теперь же, найдем дисперсию, среднеквадратичное отклонение и коэффициент вариации по формулам, используя таблицу 2.1:
Коэффициент вариации величины выбросов равен 
%, что свидетельствует о большом разбросе значений данного признака и о том распределение не равномерно.
Перейдем ко второму признаку – число умерших от болезней органов дыхания. Построим вариационный ряд распределения.
Таблица 2.2
Вариационный ряд распределения регионов РФ по величине по величине числа умерших от болезней органов дыхания.
| Группы | Частота | Середина | Нак. Частота | Частность | Нак. частность | Xi * Fi | Xi -
| (Xi - )^2
| (Xi - )^2 * Fi
|
| 19 - 830,5 | 424,75 | 55,42% | 55,42% | 19538,5 | -540,45 | 292086,20 | 13435965,32 | ||
| 830,5 - 1642 | 1236,25 | 26,51% | 81,93% | 27197,5 | 271,05 | 73468,10 | 1616298,255 | ||
| 1642 - 2453,5 | 2047,75 | 13,25% | 95,18% | 22525,25 | 1082,55 | 1171914,50 | 12891059,53 | ||
| 2453,5 - 3265 | 2859,25 | 4,82% | 100,00% | 1894,05 | 3587425,40 | 14349701,61 | |||
| Итого | - | - | 100,00% | - | 80698,25 | - | - | 42293024,71 |
Где рассчитывается по формуле:
= = 
= 972,27
Дадим графическое представление ряда в виде гистограммы распределения и полигона.(см. рис. 2.5 и 2.6). На основе накопленной частоты построим кумуляту и огиву распределения (см. рис. 2.7 и 2.8).
Рис. 2.5
Гистограмма распределения регионов РФ по величине числа умерших от болезней органов дыхания
Рис. 2.6
Полигон распределения регионов РФ по величине числа умерших от болезней органов дыхания
Рис. 2.7
Кумулята распределения регионов РФ по величине числа умерших от болезней органов дыхания
Рис. 2.8
Огива распределения регионов РФ по величине числа умерших от болезней органов дыхания
Модальным интервалом будет интервал 19-830,5 чел., т.к. частота этого интервала наибольшая. Вычислим моду по формуле:
где xMo – нижняя граница модального интервала; xMo = 19
hМо – ширина модального интервала; = 811,5
fMo, fMo-1 и fMo+1 – частоты с модального интервала, интервала, предшествующего модальному, и интервала, следующего за модальным.
fMo,=46; fMo-1 = 0 ;fMo+1= 22
В итоге:
Большинство данных регионов имеют величину числа умерших около 
Этот же интервал будет медианным, т.к. половина единиц совокупности (42) достигла значения внутри этого интервала. Вычислим медиану по формуле:
где хМе – нижняя граница медианного интервала, 
hМе – ширина медианного интервала, hМе 811,5
SМе-1 – накопленная частота до медианного интервала, = 0
fMе – частота медианного интервала, 
Итак, половина регионов имеют величину числа умерших меньше 
чел., а половина – больше.
Найдем дисперсию, среднеквадратичное отклонение и коэффициент вариации, используя таблицу 2.2:
Итак, коэффициент вариации числа умерших равен 73,42%, что свидетельствует о большом разбросе значений и о том распределение не равномерно.
Анализ взаимосвязи
Исследуем возможную взаимосвязь между этими двумя признаками: числом умерших от болезней органов дыхания и выбросами в атмосферу загрязняющих веществ, исходящих от стационарных источников.
Для выявления связи, определения ее направления и тесноты используется корреляционный анализ.
Сначала нужно установить наличие связи. Для этого проведем визуализацию связи, нарисовав поле корреляции (рис. 3.1).
Рис. 3.1
Поле корреляции между числом умерших от болезней органов дыхания и выбросами в атмосферу загрязняющих веществ, исходящих от стационарных источников в регионах РФ.
На поле корреляции точки, соответствующие отдельным регионам, расположены в общем достаточно хаотично: нет единой линии, вдоль которой выстраивается большинство точек. Можно представить себе линию с сильным положительным наклоном, такую, которая бы включала большинство точек, но остается много точек, которые эта линия не захватывает. Это значит, что признаками можно выделить формальную очень слабую прямую связь, но фактически связь практически отсутствует.
Рассмотрим аналитическую группировку регионов, проведенную в 1 задании (см. табл. 1.4). По ней также видно, что явной связи между данными признаками не выявляется
Степень тесноты и направление связи можно определить с помощью правила сложения дисперсий: 
где 
– общая дисперсия признака-результата, найденная в задании 2;
– средняя из внутригрупповых дисперсий;
– межгрупповая дисперсия, вычисляемая по формуле
, где 
– среднее значение по группе, 
– общее среднее, 
– число единиц в группе.
Найдем межгрупповую дисперсию на основании данных аналитической группировки (см. табл. 1.4) и вычисленного среднего значения из задания 2:
Таблица 3.1
Таблица расчета межгрупповой дисперсии
| № П/П | Интервал | Число регионов | Сумма | 
| - 
| 
| 
|
| 0,77 - 654,19 | 69361,00 | 912,64 | -52,43 | 2748,65 | 208897,27 | ||
| 654,19 -1307,61 | 4991,00 | 1663,67 | 698,59 | 488041,96 | 1464125,88 | ||
| 1307,61 -1961,03 | 2152,00 | 2152,00 | 1186,93 | 1408797,39 | 1408797,39 | ||
| 1961,03 -2614,45 | 2228,00 | 1114,00 | 148,93 | 22179,46 | 44358,93 | ||
| 2614,45 -3267,87 | 1369,00 | 1369,00 | 403,93 | 163157,60 | 163157,60 | ||
| Итого | 80101,00 | 965,07 | 3289337,06 |
= 
= 
= 39630,56697
= 
Найдем коэффициент детерминации
и эмпирическое корреляционное отношение
Такое низкое значение эмпирического корреляционного отношения показывает, что связь между данными двумя признаками практически отсутствует.
Проведем регрессию между данными двумя признаками на основании линейной зависимости 
где х – значения признака-фактора (выбросы в атмосферу), у – значения признака-результата (число умерших), 
– расчетные значения результативного признака. Данные для расчетов приведены в таблице 6.1.
Таблица 3.2
Расчеты для линейной регрессии
| Регионы РФ | х | у | x*у | х2 | у2 | 
|
| Алтайский край | 197,24 | 383428,73 | 38902,43 | 853,9922 | ||
| Амурская область | 115,65 | 67076,42 | 13374,69 | 751,6936 | ||
| Архангельская область | 425,91 | 266193,75 | 181399,33 | 1140,712 | ||
| Астраханская область | 103,30 | 53303,32 | 10671,10 | 736,2112 | ||
| Белгородская область | 126,12 | 63818,24 | 15907,01 | 764,8264 | ||
| Брянская область | 32,55 | 21221,95 | 1059,44 | 647,4993 | ||
| Владимирская область | 31,26 | 24975,94 | 977,13 | 645,8819 | ||
| Волгоградская область | 194,86 | 315095,09 | 37971,98 | 851,0168 | ||
| Вологодская область | 411,66 | 309152,91 | 169459,84 | 1122,839 | ||
| Воронежская область | 75,08 | 137400,06 | 5637,31 | 700,829 | ||
| г.Москва | 60,10 | 196233,03 | 3612,25 | 682,0464 | ||
| г.Санкт-Петербург | 50,52 | 98774,42 | 2552,67 | 670,0371 | ||
| Еврейская автономная область | 19,14 | 2488,72 | 366,49 | 630,6916 | ||
| Забайкальский край | 146,30 | 168681,59 | 21403,10 | 790,1227 | ||
| Ивановская область | 38,81 | 32019,90 | 1506,37 | 655,3521 | ||
| Иркутская область | 560,26 | 1130038,37 | 313887,91 | 1309,162 | ||
| Кабардино-Балкарская Республика | 2,91 | 869,49 | 8,46 | 610,3342 | ||
| Калининградская область | 30,36 | 10716,73 | 921,67 | 644,7534 | ||
| Калужская область | 11,77 | 7282,54 | 138,42 | 621,4395 | ||
| Камчатский край | 34,64 | 4954,09 | 1200,21 | 650,1261 | ||
| Карачаево-Черкесская Республика | 19,08 | 3376,81 | 363,97 | 630,6088 | ||
| Кемеровская область | 1408,12 | 3030263,48 | 1982787,85 | 2372,243 | ||
| Кировская область | 109,39 | 130394,07 | 11966,39 | 743,8471 | ||
| Костромская область | 54,82 | 22092,06 | 3005,12 | 675,4224 | ||
| Краснодарский край | 150,15 | 325834,18 | 22546,22 | 794,9575 | ||
| Красноярский край | 2446,40 | 4254296,56 | 5984892,53 | 3674,094 | ||
| Курганская область | 58,01 | 43045,65 | 3365,51 | 679,4272 | ||
| Курская область | 36,88 | 40639,56 | 1359,99 | 652,9272 | ||
| Ленинградская область | 214,86 | 224527,66 | 46164,39 | 876,0874 | ||
| Липецкая область | 345,63 | 239865,14 | 119458,02 | 1040,05 | ||
| Магаданская область | 24,30 | 3864,18 | 590,64 | 637,1601 | ||
| Московская область | 193,64 | 622346,10 | 37494,90 | 849,4771 | ||
| Мурманская область | 280,56 | 85008,17 | 78711,11 | 958,4598 | ||
| Ненецкий авт.округ | 176,30 | 3349,64 | 31080,63 | 827,7367 | ||
| Нижегородская область | 160,57 | 279709,46 | 25782,08 | 808,015 | ||
| Новгородская область | 37,61 | 17753,34 | 1414,74 | 653,8488 | ||
| Новосибирская область | 233,49 | 310779,18 | 54518,98 | 899,4515 | ||
| Омская область | 214,18 | 241385,37 | 45874,79 | 875,241 | ||
| Оренбургская область | 646,81 | 924936,87 | 418361,88 | 1417,685 | ||
| Орловская область | 22,42 | 11143,73 | 502,75 | 634,8017 | ||
| Пензенская область | 21,70 | 17748,96 | 470,80 | 633,8939 | ||
| Пермский край | 321,87 | 500823,50 | 103597,72 | 1010,257 | ||
| Приморский край | 226,12 | 280836,07 | 51128,45 | 890,2019 | ||
| Псковская область | 20,75 | 12677,03 | 430,48 | 632,7027 | ||
| Республика Адыгея | 3,31 | 592,31 | 10,95 | 610,837 | ||
| Республика Алтай | 9,86 | 1755,44 | 97,26 | 619,0534 | ||
| Республика Башкортостан | 397,90 | 1236682,52 | 158326,80 | 1105,596 | ||
| Республика Бурятия | 96,25 | 73149,24 | 9263,87 | 727,3691 | ||
| Республика Дагестан | 19,53 | 33998,25 | 381,34 | 631,173 | ||
| Республика Ингушетия | 0,77 | 19,99 | 0,59 | 607,6522 | ||
| Республика Калмыкия | 2,21 | 247,52 | 4,88 | 609,459 | ||
| Республика Карелия | 105,52 | 39569,63 | 11134,26 | 738,9922 | ||
| Республика Коми | 598,28 | 327859,63 | 357943,74 | 1356,842 | ||
| Республика Марий Эл | 36,62 | 30357,98 | 1341,02 | 652,6037 | ||
| Республика Мордовия | 32,82 | 15818,76 | 1077,09 | 647,8379 | ||
| Республика Саха (Якутия) | 193,91 | 57977,60 | 37599,15 | 849,8144 | ||
| Республика Северная Осетия-Алания | 4,43 | 842,08 | 19,64 | 612,245 | ||
| Республика Татарстан | 268,26 | 537601,06 | 71965,57 | 943,0488 | ||
| Республика Тыва | 20,29 | 3287,47 | 411,81 | 632,1322 | ||
| Республика Хакасия | 96,16 | 36154,66 | 9245,98 | 727,2525 | ||
| Ростовская область | 175,24 | 265135,09 | 30708,36 | 826,4089 | ||
| Рязанская область | 131,79 | 99240,13 | 17369,39 | 771,9357 | ||
| Самарская область | 288,63 | 390515,04 | 83306,70 | 968,5833 | ||
| Саратовская область | 120,87 | 136700,58 | 14608,83 | 758,2362 | ||
| Сахалинская область | 115,82 | 36829,81 | 13413,58 | 751,9043 | ||
| Свердловская область | 1137,51 | 2869932,68 | 1293924,45 | 2032,944 | ||
| Смоленская область | 42,96 | 31233,37 | 1845,73 | 660,5556 | ||
| Ставропольский край | 64,24 | 61545,75 | 4127,29 | 687,2399 | ||
| Тамбовская область | 85,63 | 77582,59 | 7332,84 | 714,057 | ||
| Тверская область | 54,19 | 52619,46 | 2936,66 | 674,635 | ||
| Томская область | 359,96 | 215977,80 | 129573,36 | 1058,025 | ||
| Тульская область | 156,21 | 180270,96 | 24402,81 | 802,5558 | ||
| Тюменская область | 3267,85 | 4473682,54 | 10678824,02 | 4704,054 | ||
| Удмуртская Республика | 94,45 | 104083,90 | 8920,80 | 725,1134 | ||
| Ульяновская область | 31,33 | 20331,22 | 981,38 | 645,9671 | ||
| Хабаровский край | 114,42 | 87299,41 | 13091,02 | 750,1477 | ||
| Ханты-Мансийский авт.округ-Югра | 2201,04 | 1076306,60 | 4844559,47 | 3366,441 | ||
| Челябинская область | 798,38 | 1865818,73 | 637413,82 | 1607,733 | ||
| Чеченская Республика | 41,43 | 5758,21 | 1716,11 | 658,6297 | ||
| Чувашская Республика | 35,64 | 57803,21 | 1270,00 | 651,3712 | ||
| Чукотский авт.округ | 25,21 | 932,73 | 635,49 | 638,2961 | ||
| Ямало-Ненецкий авт.округ | 972,07 | 127341,56 | 944925,92 | 1825,515 | ||
| Ярославская область | 77,50 | 52003,84 | 6006,56 | 703,8633 | ||
| Всего | 22173,34 | 29221852,65 | 29228643,87 | 120658009,00 | 78157,00 |
Значения параметров a и b найдены по следующим формулам:
Видно, что расчетные значения признак-результата сильно отличаются от фактических, что свидетельствует о том, что выраженная линейная связь между данными двумя признаками отсутствует.
Построим империческую линию регрессии.
Рис3.1
Империческая линия регрессии.
Найдем коэффициент корреляции:
= 0,242
Вывод: Различными методами было обнаружено, что связь между величиной числа умерших от болезней органов дыхания и выбросами в атмосферу загрязняющих веществ, исходящих от стационарных источников в 83 регионах РФ на 2010 год, практически отсутствует.
Ряды динамики
В таблице 4.1 приведены данные о числе умерших от болезней органов дыхания в Псковской Области за период с 2000 по 2010 год.
Таблица 4.1
Число умерших от болезней органов дыхания в Псковской Области.
| Годы | Число умерших от болезней органов дыхания, чел. |
Рассчитаем цепные и базисные показатели динамики по формулам:
– абсолютное изменение: Δц = уn – yn-1, Δб = yn – y0;
– коэффициенты роста: 
;
– коэффициенты прироста: Кпр = Кр – 1;
– темпы роста и темпы прироста: Тр = Кр ∙ 100%, Тпр = Кпр ∙ 100%,
где уn – значение показателя в текущем периоде, yn-1 – в предыдущем периоде, а y0 – в базисном (2000 году) периоде.
Результаты занесены в таблицу 4.2.
Таблица 4.2
Цепные и базисные показатели динамики числа умерших от болезней органов дыхания в Псковской Области
| Годы | Число умерших, чел.. | Δ | 
| Кпр | Тр | Тпр | |||||
| ц | б | ц | б | ц | б | ц | б | ц | б | ||
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | ||
| -20 | -20 | 0,974 | 0,974 | -0,026 | -0,026 | 97,39% | 97,39% | -2,61% | -2,61% | ||
| 1,071 | 1,043 | 0,071 | 0,043 | 107,1% | 104,3% | 7,1% | 4,3% | ||||
| -35 | -2 | 0,956 | 0,997 | -0,044 | -0,003 | 95,63% | 99,74% | -4,38% | -0,26% | ||
| -43 | -45 | 0,944 | 0,941 | -0,056 | -0,059 | 94,38% | 94,13% | -5,62% | -5,87% | ||
| -56 | -101 | 0,922 | 0,868 | -0,078 | -0,132 | 92,24% | 86,83% | -7,76% | -13,17% | ||
| -10 | -111 | 0,985 | 0,855 | -0,015 | -0,145 | 98,5% | 85,53% | -1,5% | -14,47% | ||
| -84 | -195 | 0,872 | 0,746 | -0,128 | -0,254 | 87,2% | 74,58% | -12,8% | -25,42% | ||
| -146 | 1,086 | 0,81 | 0,086 | -0,19 | 108,57% | 80,96% | 8,57% | -19,04% | |||
| -10 | -156 | 0,984 | 0,797 | -0,016 | -0,203 | 98,39% | 79,66% | -1,61% | -20,34% | ||
| -93 | -249 | 0,848 | 0,675 | -0,152 | -0,325 | 84,78% | 67,54% | -15,2% | -32,46% |
Из таблицы видно, что на протяжении всего рассматриваемого периода число умерших от болезней органов дыхания уменьшалось. Наибольшее абсолютное изменение числа умерших наблюдалось в 2010 г., когда данный показатель уменьшился на 93 чел. по сравнению с предыдущим годом. В этом же году наблюдался наименьший темп прироста числа умерших от болезней органов дыхания (32,46%).
Рассчитаем средние показатели ряда динамики.
1. Так как данный ряд динамики является интервальным, то средний уровень ряда можно вычислить по средней арифметической простой (n – число уровней ряда) :
2. Среднее абсолютное изменение – это среднее арифметическое от абсолютных изменений за каждый год. Его можно вычислить следующим образом:
3. Средний коэффициент роста – это среднее геометрическое из цепных коэффициентов роста за отдельные периоды времени динамического ряда. Используя связь между цепными и базисными показателями, его можно вычислить следующим образом:
Используя взаимосвязи между коэффициентами и темпами роста и прироста, находим эти средние показатели:
= 
∙ 100% = 96,15%;
= – 1 = - 0,0385;
= ∙ 100% = -3,85%.
Итак, средний уровень числа умерших за рассматриваемые годы составил 
В среднем за каждый год числа умерших уменьшился на 
чел. Средний темп прироста фонда заработной платы в год составил -3,85%.
Произведем сглаживание ряда динамики методом трехлетней скользящей средней. Сглаженные уровни ряда будут считаться по формуле:
Произведем также аналитическое выравнивание ряда динамики по формуле 
, где 
– расчетные значения уровней ряда, а t – время, которое для удобства принимает значения –5, –4, … , 4, 5 (при этом средний уровень ряда соответствует t=0 и сумма всех значений t также равна нулю). Для расчета коэффициентов a и b составим таблицу 5.3, куда занесем также сглаженные уровни ряда методом скользящей средней.
Таблица 4.3
Сглаживание и аналитическое выравнивание ряда динамики
| Годы | Число умерших, чел. | Условное обозначение времени | Квадрат | Произведение | Расчетные значения |
| Символы | y | t | t2 | yt | 
|
| -5 | -3835 | 803,09 | |||
| -4 | -2988 | 777,84 | |||
| -3 | -2400 | 752,58 | |||
| -2 | -1530 | 727,33 | |||
| -1 | -722 | 702,07 | |||
| 676,82 | |||||
| 651,56 | |||||
| 626,31 | |||||
| 601,05 | |||||
| 575,80 | |||||
| 550,55 | |||||
| Итого: | -2778 |
Данные коэффициенты показывают, что средний уровень выровненного ряда динамики числа умерших составляет 
чел. Выровненные значения числа умерших равномерно убывают на 
чел. в год.
Графически фактический и выровненный ряды показаны на тренде ряда динамики (рис. 4.1)
Рис. 4.1
Тренд ряда динамики
Выборочное исследование
Допустим, что проведено бесповторное выборочное наблюдение в северо-западных регионах РФ по величине числа умерших от болезней органов дыхания. Данные и расчеты представлены в таблице 5.1
Таблица 5.1
Выборочное наблюдение по величине числа умерших от болезней органов дыхания
| Северо-западные регионы РФ | Величина числа умерших от болезней органов дыхания, чел. | X - 
| (X -  2
|
| г.Санкт-Петербург | 1313,45 | 1725162,84 | |
| Ленинградская область | 403,45 | 162775,57 | |
| Вологодская область | 109,45 | 11980,30 | |
| Архангельская область | -16,55 | 273,75 | |
| Псковская область | -30,55 | 933,02 | |
| Республика Коми | -93,55 | 8750,75 | |
| Новгородская область | -169,55 | 28745,66 | |
| Республика Карелия | -266,55 | 71046,48 | |
| Калининградская область | -288,55 | 83258,48 | |
| Мурманская область | -338,55 | 114613,02 | |
| Ненецкий авт.округ | -622,55 | 387562,84 | |
| Итого: | 2595102,73 |
Где 
рассчитано по формуле:
= 
= 641,55 чел.
Найдем среднюю ошибку выборки по формуле:
где - дисперсия признака в выборочной совокупности, которая рассчитывается по формуле:
= 
= 235918,43
136,40 чел
На основании средней ошибки вычисляется предельная ошибка выборки Δ=tμ, где t – коэффициент Стьюдента. При вероятности 0,993 t=3, поэтому предельная ошибка будет равна
Δ=3∙136,40 =409,19 (чел.)
Тогда получаем границы изменения генеральной средней:
– Δ ≤ 
+ Δ;
641,55 – 409,19 ≤ 641,55+409,19
232,35 ≤ 1050,74.
Найдем, какое количество регионов необходимо обследовать для того, чтобы снизить предельную ошибку выборки на 50%. Новая ошибка будет равна Δ’ = 0,5Δ = 204,60 чел., а новая выборочная совокупность будет содержать количество регионов, которое для бесповторного отбора находится по формуле:
В данном случае:
Итак, среднее значение величины числа умерших от болезней органов дыхания по всей генеральной совокупности с вероятностью 0,993 лежит в интервале от 232,35 до 1050,74 чел. Чтобы снизить предельную ошибку выборки на 50%, необходимо увеличить объем выборочной совокупности до 32 регионов.
Индексы
В таблице 6.1 представлены данные о выпуске в РФ продукции трех видов сахаpа-песка, макаронных изделий и муки за 2008 г. (базисный период) и 2009 г. (отчетный период). p0 и р1 - цены за единицу продукции в базисном и отчетном периоде соответственно, а q0 и q1 – объем продукции в тех же периодах.
Таблица 6.1
Данные о выпуске продукции по видам и ценам за 2008 и 2009 г.
| Вид продукции | 2008 г. | 2009 г. | ||||||
| qo | p0 | p0q0 | p1q0 | q1 | p1 | p1q1 | p0q1 | |
| Сахар-песок | 25,07 | 147236,11 | 200269,3 | 34,1 | 171284,3 | 125926,61 | ||
| Макаронные изделия | 44,74 | 45947,98 | 43852,9 | 42,7 | 44749,6 | 46887,52 | ||
| Мука | 10,3 | 21,63 | 222,789 | 191,58 | 10,2 | 18,6 | 189,72 | 220,626 |
| Итого | 6910,3 | 91,44 | 193406,88 | 244313,78 | 6081,2 | 95,4 | 216223,62 | 173034,76 |
Определим индивидуальные индексы объема, цены и стоимости по каждому из трех видов продукции и проверим их взаимосвязь.
По сахар-песку:
По макаронным изделиям:
По муке:
Определим общие индексы физического объема и цены по методам Ласпейреса и Пааше, а также общий индекс стоимости.:
Результаты вычислений занесем в таблицу 6.2.
Таблица 6.2
Индексы физического объема, цены и стоимости
| Индексы | Вид продукции | Общий | ||
| Сахар-песок | Макаронные изделия | Мука | ||
| Цены | 1,36 | 0,95 | 0,86 | 1,2323 |
| Физического объема | 0,86 | 1,02 | 0,99 | 0,8947 |
| Стоимости | 1,16 | 0,97 | 0,85 | 1,118 |
Итак, в 2009 г. объем товарооборота на исследуемом предприятии увеличился на 11,8%, что произошло в результате увеличения стоимости сахара-песка на 16%, тогда как стоимости макаронных изделий и муки упали на 3% и 15% соответственно.
За счет изменения физического объема товарооборот уменьшился на 10,53%, что произошло в результате увеличения физического объема на макаронные изделия на 2%, при этом объемы сахара-песка и муки упали на 14% и 1 % соответственно.
За счет изменения цен товарооборот увеличился на 23,23%, что произошло в результате увеличения цены сахара-песка на 36%, при одновременном уменьшении цен макаронных изделий и муки на 5% и 14 %.
Определим индексы переменного состава, постоянного состава и структурных сдвигов.
.= 
= 
= 1,27
= 
= 1,25
= 
= 
1,02
Итак, средняя цена производства увеличилась по сравнению с базисным годом на 27%. За счёт изменения цен на отдельные виды продукции средняя цена увеличилась на 25%, а за счет структурных сдвигов средняя цена увеличилась на 2%.