Энтропия. Закон возрастания энтропии.Статистический смысл энтропии

Понятие термодинамической энтропии, впервые введенное в 1865 году Клаузиусом, имеет ключевое значение для понимания основных положений термодинамики.

Рассмотрим обратимый круговой термодинамический процесс, представленный на рис. 3.12. Для этого процесса может быть записано равенство Клаузиуса (3.49) в виде

(3.50)

где первый интеграл берется по траектории I, а второй - соответственно по траектории II.

Рис. 3.12. Обратимый круговой термодинамический процесс

Изменение направления протекания процесса на противоположное , что можно выполнить вследствие обратимости процесса II, приводит к замене знака перед вторым интегралом формулы (3.50). Выполнение этой замены и перенос второго интеграла в выражении (3.50) в правую часть дают

(3.51)

Из полученного выражения следует, что для обратимых процессов интеграл не зависит от конкретного вида траектории, по которой происходит процесс, а определяется только начальным и конечным равновесными состояниями термодинамической системы.

С аналогичной ситуацией мы уже встречались, когда в механике рассматривали определение работы консервативной силы. Независимость работы консервативной силы от формы траектории движения тела позволила ввести функцию, названную потенциальной энергией, которая зависит только от состояния механической системы и не зависит от того, как в это состояние система была переведена.

Из этой аналогии следует, что элементарное приведенное количество теплоты должно представлять собой полный дифференциал некоторой функции S, зависящей только от состояния термодинамической системы, то есть:

(3.52)

Тогда интеграл будет равен разности значений функции Sв равновесных состояниях 1 и 2:

(3.53)

Итак, величина является функцией, зависящей только от равновесного состояния термодинамической системы. Она не зависит от конкретного вида термодинамического процесса, приведшего систему в указанное состояние. Эта функция была названа Клаузиусом термодинамической энтропией

3.9. Закон возрастания энтропии

Применим неравенство Клаузиуса для описания необратимого кругового термодинамического процесса, изображенного на рис 3.13.

Пусть процесс будет необратимым, а процесс - обратимым. Тогда неравенство Клаузиуса для этого случая примет вид

(3.55)

Так как процесс является обратимым, для него можно воспользоваться соотношением (3.53), которое дает

(3.56)

Подстановка этой формулы в неравенство (3.55) позволяет получить выражение

(3.57)

Сравнение выражений (3.53) и (3.57) позволяет записать следующее неравенство

(3.58)

в котором знак равенства имеет место в случае, если процесс является обратимым, а знак больше, если процесс - необратимый.

Неравенство (3.58) может быть также записано и в дифференциальной форме

(3.59)

Если рассмотреть адиабатически изолированную термодинамическую систему, для которой , то выражение (3.59) примет вид

(3.60)

или в интегральной форме

(3.61)

Полученные неравенства выражают собой закон возрастания энтропии, который можно сформулировать следующим образом:

В адиабатически изолированной термодинамической системе энтропия не может убывать: она или сохраняется, если в системе происходят только обратимые процессы, или возрастает, если в системе протекает хотя бы один необратимый процесс.

Переход к статистическому весу позволяет записать выражение для энтропии в следующем виде:

(5.123)

Эта формула носит название формулы Больцмана. Она позволяет рассчитать статистическую энтропию системы.

В частности, из этой формулы следует, что энтропия термодинамической системы со статистическим весом равным единице, когда все частицы системы находятся в одинаковых состояниях, равна нулю. А в состоянии с максимальным статистическим весом энтропия также принимает максимальное значение.

Для статистической энтропии выполняется требование аддитивности. Если система может быть разделена на две не взаимодействующие подсистемы, статистические веса которых соответственно равны G₁ и G₂, то её статистический вес G вычисляется как произведение весов подсистем:G=G₁G₂ . При этом энтропия в соответствии с формулой (5.123) равна:

(5.124)

или

(5.125)

Следовательно, статистическая энтропия макроскопической системы, состоящей из не взаимодействующих подсистем, равна сумме энтропий этих подсистем.

48. З-н сохр-я заряда. З-н Кулона. Напряж-ть электрич-го поля. Принцип суперпозиции. Электрический заряд — физическая величина, определяющая интенсивность электромагнитного взаимодействия.

Свойства заряда:

1.Носителями электрического заряда являются заряженные элементарные частицы — протон и электрон (а также некоторые нестабильные частицы: п-мезоны, m-мезоны и т.д.). Заряженные частицы взаимодействуют друг с другом с силами, убывающими с расстоянием так же медленно, как гравитационные, но во много раз превышающими их по величине.

2.Все заряженные элементарные частицы обладают одним и тем же по величине зарядом, который называют элементарным зарядом и обозначают буквой е. Опыт показывает, что заряд элементарных частиц не зависит от их скорости.

3.Заряд элементарных частиц может быть положительным или отрицательным. Одноименные частицы отталкиваются, разноименные — притягиваются. За положительный заряд принят заряд протона +е. Заряд электрона — отрицательный (-е).

Заряженные тела. Если в состав макроскопического тела входит различное количество электронов Nе и протонов Nр, то оно оказывается заряженным. Заряд тела всегда представляется числом, кратным величине элементарного заряда: q — е (Nр — Nе).

Закон сохранения электрического заряда утверждает, что полный заряд замкнутой системы, т.е. алгебраическая сумма зарядов всех тел, постоянен. Это утверждение очевидно, если в системе не происходит превращений элементарных частиц. Но закон сохранения заряда имеет более фундаментальный характер — он выполняется в любых процессах рождения и уничтожения элементарных частиц.

Закон Кулона описывает взаимодействие точечных зарядов, т.е. элементарных частиц или заряженных тел, размеры которых малы по сравнению с расстоянием между ними. Полная формулировка закона Кулона включает в себя три утверждения.

1. Сила взаимодействия двух точечных зарядов в вакууме (кулоновская сила) прямо пропорциональна произведению модулей зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

где k — коэффициент пропорциональности, зависящий от системы единиц.

2. Силы взаимодействия направлены вдоль прямой, соединяющей заряды (такие силы называют центральными).

3. Одноименные заряды отталкиваются, разноименные — притягиваются.

Влияние среды. Если точечные заряды находятся в однородном диэлектрике, то приближенно можно считать, что сила взаимодействия (1) уменьшается в е раз, где е — характеристика среды, которую называют диэлектрической проницаемостью.

Взаимодействие заряженных частиц можно описывать двумя способами.

1. Один заряд через пустое пространство непосредственно действует на другой заряд (дальнодействие).

2. Взаимодействие передается через посредство электромагнитного поля. На заряд действуют не другие заряды, а поле, находящееся в той же точке пространства (близкодействие). Остальные заряды выступают в роли источников этого поля.

Самым простым видом электромагнитного поля является электростатическое поле, создаваемое неподвижными зарядами.

Напряженность электрического поля. Из закона Кулона следует, что сила Fq, действующая на пробный заряд q пропорциональна величине этого заряда. Значит, отношение Fq/q не зависит от q, т.е. является характеристикой поля. Ее называют напряженностью и обозначают буквой Е:

Видно, что само определение напряженности решает задачу о

силе, действующей на заряд д во внешнем поле Е. В системе СИ

напряженность измеряют в Н/Кл.

Из закона Кулона и формулы следует, что напряженность электростатического поля, создаваемого точечным зарядом Q на расстоянии r от него, может быть найдена по формуле

Вектор Е направлен по радиусу от заряда, если Q > 0, и к заряду, если Q < 0. Формулу (3) можно, с учетом знака Q, рассматривать как формулу для проекции Е на радиальное направление (ее обозначают Qr).

Если поле Е создается несколькими точечными зарядами, то результирующая напряженность есть векторная сумма напряженностей, созданных отдельными зарядами:

где E1, E2, ... вычисляются по формуле E (принцип суперпозиции полей).

Ёсли заряд распределен непрерывно по поверхности (объему), то надо мысленно разбить заряженную поверхность (объем) на точечные заряды, а потом применить принцип суперпозиции. Для описания заряда, непрерывно распределенного по поверхности, вводят поверхностную плотность заряда g =∆q/∆S. Если заряд распределен

неравномерно, то определяют поверхностную плотность в точке,

устремляя ∆S к нулю. Единица измерения ∆g— Кл/м².

Распределение Е в пространстве можно представить, нарисовав картинку силовых линий. Ее рисуют так, чтобы по ней можно было: а) узнать направление вектора Е (он направлен по касательной к сило-вой линии - в сторону, указанную стрелкой на этой линии); б) сравнить между собой |Е| в разных точках пространства (|Е| пропорционален густоте силовых линий, т.е. количеству линий, пронизывающих поперечную площадку, деленному на ее площадь).

Оказывается, можно удовлетворить всем этим требованиям, нарисовав картинку, где силовые линии начинаются на положительных зарядах, заканчиваются на отрицательных (или уходят на бесконечность), а в пространстве между зарядами всюду непрерывны (на каждом заряде начинается или заканчивается число линий, пропорциональное его величине).

49. Диполь (от ди... и греч. pólos - полюс) электрический, совокупность двух равных по абсолютной величине разноимённых точечных зарядов, находящихся на некотором расстоянии друг от друга. Основной характеристикой электрического Диполь является его дипольный момент - вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному и численно равный произведению заряда е на расстояние l между зарядами: р = el. Дипольный момент определяет электрическое поле Диполь на большом расстоянии R от Диполь (R»l), а также воздействие на Диполь внешнего электрического поля.
Вдали от Диполь его электрическое поле Е убывает с расстоянием как 1/R3, т. е. быстрее, чем поле точечного заряда (~ 1/R2). Компоненты напряжённости поля Е вдоль оси Диполь (Ep) и в направлении, перпендикулярном к р (E┴), пропорциональны дипольному моменту и в системе единиц СГС (Гаусса) равны:

где J - угол между р и радиусом-вектором R точки пространства, в которой измеряется поле Диполь; полная напряжённость

Т. о., на оси Диполь при J = 0 напряжённость поля вдвое больше, чем при J = 90°; при обоих этих углах оно имеет только компоненту Ep, причём при J = 0 её направление параллельно р, а при J = 90° - антипараллельно
Действие внешнего электрического поля на Диполь также пропорционально величине его дипольного момента. Однородное поле создаёт вращающий момент М = pE sina (a - угол между вектором напряжённости внешнего электрического поля Е и дипольным моментом р; рис. 3), стремящийся повернуть Диполь так, чтобы его дипольный момент был направлен по полю. В неоднородном электрическом поле на Диполь, кроме вращающего момента, действует также сила, стремящаяся втянуть Диполь в область более сильного поля.
Электрическое поле любой нейтральной в целом системы на расстояниях, значительно больших её размеров, приближённо совпадает с полем эквивалентного Диполь - электрического Диполь с таким же дипольным моментом, как и у системы зарядов (т. е. поле на больших расстояниях от системы нечувствительно к деталям распределения зарядов). Поэтому во многих случаях электрический Диполь является хорошим приближением для описания такой системы на больших по сравнению с её размерами расстояниях. Например, молекулы многих веществ можно приближённо рассматривать как электрический Диполь (в простейшем случае это молекулы из двух ионов с зарядами противоположных знаков); атомы и молекулы во внешнем электрическом поле, несколько раздвигающем их положительные и отрицательные заряды, приобретают индуцированный (наведённый полем) дипольный момент и становятся микроскопическими Диполь. Электрический Диполь с изменяющимся во времени дипольным моментом (вследствие изменения его длины l или зарядов e) является источником электромагнитного излучения

50. Поток вектора через пов-ть. Теорема Гаусса.Для вывода основного уравнения, связывающего поле вектора D с распределением свободных зарядов, введем предварительно еще одну вспомогательную величину - поток вектора D через поверхность.

Рассмотрим простейший случай однородного поля, в котором D - const, т. е. вектор индукции повсюду одинаков и по величине, и по направлению. В этом случае все линии индукции прямые и идут параллельно на одинаковом расстоянии

друг от друга (см. рис. 1.16). Построим площадку S произвольной формы, перпендикулярную линиям вектора D, и определим поток индукции через нее как произведение D на S:

N=DS.(5.9)

Поскольку через единицу площади проходят D линий индукции, то величина N численно равна полному числу линий индукции, пронизывающих эту площадку. Проведем теперь площадку S наклонно к линиям индукции (см. рис. 1.17). Ориентация площадки в пространстве характеризуется перпендикулярным к ней вектором нормали n. При этом сторона площадки, из которой выходит нормаль n, называется положительной, а противоположная сторона отрицательной. Угол α между направлением вектора индукции и нормалью n к площадке может изменяться от 0 до 180°. Для нахождения числа N линий индукции, проходящих через эту площадку, спроектируем последнюю на плоскость, перпендикулярную вектору D. Из рис. 1.17 видно, что через площадку S и ее проекцию Sпр проходит одинаковое число линий индукции, равное

N=DS_пр=DScos α =D_nS (5.10) где D_n=Dcos a — проекция вектора индукции на направление нормали к площадке. Величина N определяемая формулой (5.10), называется потоком вектора электростатической индукции (или потоком вектора электрического смещения) через площадку S. Термин поток заимствован из гидродинамики определяемый аналогично (5,10) поток вектора скорости численно равен объему жидкости, протекающей за единицу времени через данную площадку. Поток индукции есть скаляр, который в зависимости от величины угла α может быть как положительным, так и

отрицательным. При α <90° линии индукции направлены по отношению к площадке в ту же сторону, как и вектор n, выходят из ее положительной стороны, и, следовательно, N>0 (см. рис. 1.18, а). При α >90° линии индукции входят в положительную сторону площадки и N<О (см. рис. 1.18, б). Наконец, при α = 90° соsα=0 и N=0, так как линии индукции в этом случае скользят вдоль площадки и не пересекают последнюю (см. рис. 1.18, в).

В общем случае неоднородного поля (D≠const) и произвольной неплоской поверхности S (D≠const) для нахождения полного потока вектора электростатической индукции N через площадку ее следует мысленно разбить на отдельные бесконечно малые площадки ∆S (см. рис. 1.19). Считая каждую такую площадку практически плоской и поле в ее пределах практически постоянным, можно по формуле (5.10) вычислить поток линий индукции, проходящих через эту площадку:

N=Dcosα∆S=D_n∆S (5.11)

Суммируя элементарные потоки ∆N, проходящие через каждый участок поверхности ∆S, по всем таким элементарным участкам, мы найдем полное число линий индукции N, пронизывающих поверхность S:

Закон Кулона и правило наложения электрических нолей в принципе позволяют рассчитать поле, создаваемое любой системой точечных зарядов. В случае непрерывного распределения заряда в пространстве суммирование следует заменить соответствующим интегрированием. Практически, однако, вычисление соответствующих сумм и интегралов часто представляет собой весьма трудоемкую математическую задачу. Поэтому был разработан целый ряд вспомогательных методов и приемов, упрощающих вычисление. Одним из таких практически важных и простых методов является применение теоремы Гаусса, краткий вывод которой мы приведем ниже. Эта теорема позволяет найти поток вектора электростатической индукции через замкнутую поверхность, внутри которой находятся электрические заряды.

Рассмотрим сначала один точечный заряд q, помещенный в центре сферы произвольного радиуса r (см. рис. 1,20), и вычислим полный поток индукции N, проходящий через всю поверхность этой сферы наружу. В этом случае численное значение вектора D на всей сфере S (r=const) одинаково и равно D_{точеч.зар.}=k₀(q/r²)

Кроме того, направление вектора D при этом в каждой точке совпадает с направлением внешней нормали к сфере. Тогда входящий в формулу (5.12) соsα=соs0°=1. Поэтому полный поток индукции через нашу сферу равен N=∑D∆S*1=D∑∆S=k₀(q/r²)*4πr²=k₀*4πq (6.2)

так как полная поверхность сферы S=4πr².

Из (6.2) следует, что поток индукции, создаваемый точечным зарядом, для сферы любого радиуса с центром в источнике поля одинаков и численно равен k₀*4πq. Проведя две такие концентрические сферы радиусами r₁ и r₂ (см. рис. 1.21), мы видим, что число линий индукции N. пронизывающих обе сферы, одинаково. Между этими сферами линии индукции идут непрерывно, нигде не заканчиваясь и не возникая вновь. Поэтому, если мы проведем между этими двумя сферами замкнутую поверхность S₁ произвольной формы, тоже охватывающую наш точечный заряд q, то полное число линий индукции N через эту поверхность будет также равно k₀*4πq.

При вычислении потока через замкнутую поверхность, так же как и в случае сферы, вектор нормали п следует считать направленным по отношению к поверхности наружу. Линии индукции, выходящие из объема, ограниченного данной поверхностью, создают положительный поток, линии же, входящие в объем - отрицательный поток.

Если между нашими сферами с произвольными радиусами расположить замкнутую поверхность S₂, не охватывающую заряда q, то, как видно из рис. 1.21, каждая линия индукции будет пересекать эту поверхность дважды, один раз с положительной стороны (войдет в поверхность) , а другой раз с отрицательной стороны (выйдет из поверхности). Поэтому алгебраическая сумма линий индукции, проходящих через замкнутую поверхность S₂, т. е. полный поток индукции N через эту поверхность, будет равна нулю.

Таким образом, для одного точечного заряда q полный поток индукции через любую замкнутую поверхность S будет равен

N= k₀*4πq, если заряд расположен внутри замкнутой поверхности;

N=0, если заряд расположен вне замкнутой поверхности,

и результат этот от формы поверхности не зависит.

В соответствии с (5.14) в общем случае электрического поля, создаваемого произвольной системой точечных зарядов (см. рис. 1.22), полный поток индукции, проходящий через замкнутую поверхностьS, равен

(6.4)

где окончательное суммирование распространяется только на заряды, расположенные внутри этой поверхности. Отсюда получается окончательная формулировка теоремы Гаусса: поток вектора электростатической индукции через любую замкнутую поверхность численно равен алгебраической сумме находящихся внутри этой поверхности зарядов, умноженной на 4πk₀