![]() |
![]() |
Категории: АстрономияБиология География Другие языки Интернет Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Механика Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Транспорт Физика Философия Финансы Химия Экология Экономика Электроника |
Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующимОпределитель. Определитель (детерминант) квадратной матрицы 1. Определителем матрицы 2. Определителем матрицы
где
Базисный минор и ранг матрицы.
В матрице Рангом матрицы называется порядок базисного минора. Теорема о базисном миноре. В произвольной матрице Теорема о ранге матрицыРанг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк этой матрицы. Теорема (необходимое и достаточное равенство нулю определителя)Для того чтобы определитель был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы один из его столбцов (одна из его строк) был линейной комбинацией остальных столбцов (строк). Понятия линейной зависимости и линейной независимости векторов Вектор Система из Система из
Обратная матрица.
Пусть Теорема о существовании и единственности обратной матрицы Квадратная матрица
Системы линейных алгебраических уравнений
Правило Крамера. Если определитель
где
Теорема Кронекера–Капелли. Система
Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной. Любая совокупность
Структура общего решения неоднородной системы. Общее решение неоднородной системы есть сумма частного решения неоднородной системы и общего решения соответствующей однородной системы:
Собственные векторы
Пусть называется собственным вектором матрицы Характеристическое уравнение: Совокупность всех собственных значений матрицы (с учетом их кратностей) называют ее спектром. Спектр матрицы называется простым, если собственные значения матрицы попарно различные (все корни характеристического уравнения простые). Алгоритм нахождения собственных векторов и собственных значений матрицы Для нахождения собственных векторов и собственных значений квадратной матрицы 1. Составить характеристический многочлен матрицы 2. Найти все различные корни 3. Для корня 4. Записать линейно независимые собственные векторы матрицы где Повторить п.3, 4 для остальных собственных значений
Теорема о приведении матрицы к диагональному виду. Для того чтобы квадратная матрица Следствие. Если матрица имеет простой спектр, то она приводится к диагональному виду.
Векторная алгебра. Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
где Если векторы Ненулевые векторы Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если, наблюдая из конца третьего вектора, кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден происходящим против часовой стрелки. Если описанный поворот виден происходящим по часовой стрелке, то упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется левой тройкой. Вектор 1) его длина равна произведению длин векторов 2) вектор 3) векторы Формула вычисления векторного произведения. Если векторы Геометрические приложения векторного произведения 1. Векторы 2. Площадь 3. Высота
Смешанным произведением векторов Геометрические свойства смешанного произведения 1. Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов 2. Формула вычисления смешанного произведения.
|