ТЕМА 3. БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА
Основные понятия: нормированное векторное пространство, последовательность Коши (фундаментальная последовательность), полнота пространства, эквивалентные нормы, ряды в банаховых пространствах, критерий банаховости.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача №1. Доказать, что в пространстве C1[a, b] нормы
,
эквивалентны.
Решение. Две нормы являются эквивалентными, если они подчинены друг другу. Норма 
подчинена 
, если сущeствует положительная константа a, такая, что
.
.
С другой стороны, используя формулу Ньютона-Лейбница для непрерывно-дифференцируемых функций
,
получим неравенство 
. Проинтегрируем обе части по t: 
или
.
Таким образом,
.
Задача № 2. Является ли пространство C1[0, 1] банаховым по норме
.
Решение. Нормальное векторное пространство является банаховым, если любая последовательность Коши в нем сходится. По определению последовательность является последовательностью Коши, если 
при n, m ® ¥. Имеем,
при n, m ® ¥. Значит,
и 
при n, m ® ¥ одновременно.
В силу полноты пространства L[0, 1] последовательность xn(t) сходится в среднем к функции x0(t), а последовательность непрерывных функций 
сходится равномерно к непрерывной функции j(t). Мы должны показать, что x0(t) Î C1[0, 1] и 
. Из сходимости в среднем следует, что существует подпоследовательность 
, сходящаяся к x0(t) почти всюду. Пусть для t = t0 и 
при k® ¥, тогда 
. Перейдем к пределу при k® ¥, получим
почти всюду.
Учитывая, что x0(t) абсолютно непрерывная функция, имеем .
Данная задача может быть решена и следующим образом. Известно, если в пространстве заданы две эквивалентные нормы, по одной из которых пространство банахово, то оно банахово и по второй норме. В задаче № 1 мы показали, что наша норма эквивалентна норме 
, по которой C1[0, 1] банахово. Значит C1[0, 1] банахово и по норме 
.
Задача №3. Доказать, что пространство M[a, b] - ограниченных на отрезке [a, b] функций с нормой 
является банаховым.
Решение: Пусть xn - последовательность Коши в пространстве M[a, b]. Это значит, что xn(t) - ограниченные на отрезке [a, b] функции и 
. (*)
Зафиксируем t, получим числовую последовательность xn(t) такую, что 
при n, m® ¥. Это означает, что xn(t) является числовай последовательностью Коши и сходится в силу полноты R. Пусть 
. Получили функцию x0(t), к которой последовательность xn(t) сходится точечно. Остается доказать, что xn(t) Î M[a, b] и 
при n ® ¥. Перейдем в равенстве (*) к пределу при m ® ¥, получим
.
Функция 
ограничена, значит и 
ограничена, так как 
. Таким образом, пространство M[a, b] является банаховым.
Задача № 4. Является ли последовательность
последовательностью Коши в пространстве L2 [-1, 1] ? Найти предел, если он существует.
Решение: По определению последовательность xn(t) является последовательностью Коши, если
.
Поскольку интегралы Лебега от эквивалентных функций совпадают, заменим xn(t) на yn(t) такую, что xn(t) ~ yn(t), где 
. Имеем
при m > n.
Рассмотрим последовательность 
, которая точечно сходится к нулю и ограничена : 
. Воспользуемся теоремой Лебега о предельном переходе под знаком интеграла Лебега, получим
.
Это означает, что 
, т.е. последовательность yn(t) и, следовательно хn(t) является последовательностью Коши и сходится к функции ïtïÎ L2 [-1,1].
Задание №1. Определите, являются ли две нормы 
и 
эквивалентными в нормированном пространстве 
два раза непрерывно-дифференцируемых на отрезке 
функций.
1.1. 
и 
;
1.2. и 
;
1.3. и 
;
1.4. 
и
;
1.5. и
;
1.6. 
и
;
Определите, являются ли две нормы эквивалентными в нормированном пространстве 
непрерывно-дифференцируемых на отрезке [a,b] функций.
1.7. 
и 
;
1.8. и 
;
1.9. 
и 
.
1.10. Доказать, что в 
эквивалентна норме 
, где 
и v(t) Î .
Доказать по определению эквивалентность норм в пространстве 
1.11. 
и 
;
1.12. . 
и 
;
1.13. 
и 
;
1.14. и 
;
Задание №2. Является ли последовательность 
последовательностью Коши в пространстве 
. Найти ее предел, если он существует.
2.1. 
, 
;
2.2. 
, 
;
2.3. 
, 
;
2.4. 
, 
;
2.5. 
, 
;
2.6. 
, 
;
2.7. 
, 
;
2.8. 
, 
;
2.9. 
, 
;
2.10. 
, 
;
2.11. 
, 
;
2.12. 
, ;
2.13. 
, 
;
2.14. 
, .
Задание №3. Выяснить, является ли заданное пространство полным по указанной норме.
3.1. Пространство 
непрерывно-дифференцируемых на отрезке [a, b] функций с нормой 
;
3.2. Пространство с нормой 
;
3.3. Пространство 
с нормой 
;
3.4. Пространство l2 числовых последовательностей 
, для которых выполняются следующие соотношения:
с нормой 
;
3.5. Пространство с нормой 
;
3.6. Пространство с нормой 
;
3.7. Пространство Rn столбцов 
, 
с нормой
;
3.8. Пространство Rn столбцов 
, с нормой
;
3.9. Пространство 
непрерывных функций с нормой
;
3.10. Пространство с нормой 
;
3.11. Пространство Rn столбцов 
, с нормой
;
3.12. Пространство Rn столбцов , с нормой
;
3.13. Пространство k непрерывных на R конечных функций (равных нулю за пределами некоторого промежутка, своего для каждой функции) с нормой
;
3.14. Пространство 
, 
с нормой
.
Задание №4. Проверить, сходится ли ряд 
в нормированном пространстве Е.
4.1. 
4.2. 
4.3. 
4.4. 
4.5. 
4.6. 
4.7. 
4.8. 
4.9. 
4.10. 
4.11. 
4.12. 
4.13. 
4.14. 