Теоретическое рассмотрение

Физическим маятником называют любое твердое тело, которое под действием силы тяжести может свободно качаться вокруг неподвижной горизонтальной оси. Движение маятника описывается уравнением

(1)

 

где J - момент инерции маятника, φ - угол отклонения маятника от положения равновесия, t - время, М - момент сил, действующих на маятник.

В данной работе в качестве физического маятника используется однородный стальной стержень длины l. На стержне закреплена опорная призма, острое ребро которой является осью качания маятника. Призму можно перемещать вдоль стержня, меняя, таким образом, расстояние ОС от точки опоры маятника до его центра масс. Пусть это расстояние равно d (рис. 1).

 
 

Тогда по теореме Гюйгенса - Штейнера момент инерции маятника

где m - масса маятника. Момент силы тяжести, действующий на маятник,

М = - mgd Sin φ.

Если угол φ мал, то Sinφ≈φ, так что

 

М ≈ - mgdφ.

 

В исправной установке маятник совершает несколько десятков колебаний без заметного затухания. Поэтому моментом силы трения в первом приближении можно пренебречь. Подставляя выражения для J и М в (1), получим уравнение

 

(2)

где

(3)

 

Легко убедиться, что решением этого уравнения является функция

 

φ(t) = A Sin (ωt + α).

 

Амплитуда колебаний А и их фаза αзависят от того, как возбуждаются колебания маятника, т. е. определяются начальными условиями задачи, а частота колебаний ω согласно (3) определяется только параметрами маятника l и d. Период колебаний Т = 2π/ω равен

(4)

 

Мы видим, таким образом, что период колебаний физического маятника не зависит ни от фазы, ни от амплитуды колебаний. Это утверждение справедливо для колебаний, подчиняющихся уравнению (2). Движение маятника описывается этим уравнением приближенно - в той мере, в какой справедлива использованная при выводе (2) формула sinφ ≈ φ. Исследование правильности утверждения о том, что период колебаний маятника не за­висит от амплитуды, является чувствительным методом проверки теории. Как известно, период колебаний математического маятника определяется формулой:

 

,

 

где - длина математического маятника.

 

(5)

 

Поэтому величину называют приведенной длиной физического маятника. Точку О', отстоящую от точки опоры О на расстояние lпр, называют центром качания физического маятника. Можно доказать, что точка опоры и центр качания маятника обратимы, т. е. при качании маятника вокруг точки О' период должен быть таким же, как и при качании вокруг точки О. Исследование справедливости этого утверждения является другим хорошим методом проверки теории. Еще один метод заключается в проверке правильности формулы (4). Входящую в эту формулу величину d можно изменять, передвигая опорную призму по тержню.

В данной работе в качестве математического маятника используется массивный стальной шарик, подвешен- ный на двух расходящихся нитях, как это показано на рис. 2. Длину нитей можно изменять, наматывая нити на ось.

 

Описание установки

На рис. 3. представлен общий вид экспериментальной установки. Основание (1) оснащено регулируемыми ножками (2) , которые позволяют привести прибор в строго вертикальное положение. В основании закреплена колонка (3), к которой прикреплен подвижный верхний кронштейн (4), с которым связана фигурная опора (5). Физический маятник, представляющий собой, однородный стальной стержень (6) с цилиндрическим грузом (8). На стержне закреплена призма (7). Количество колебаний определяется с помощью емкостного датчика (9), соединённого с электронным блоком.

 

Рис. 3

 

Принадлежности: физический маятник (однородный стальной стержень и съёмные цилиндрические грузы разной массы); опорная призма; математический маятник; измеритель интервалов времени заданного числа колебаний; линейка.

Порядок выполнения работы:

 

1. Определите диапазон амплитуд, в пределах которого период колебаний маятника Т можно считать не зависящим от амплитуды. Для этого отклоните маятник из положения равновесия на некоторый угол φ1(~10°), нажмите кнопку «Пуск» и измерьте время 20 колебаний. Число регистрируемых колебаний задается электронным счетчиком, а их длительность высвечивается на цифровом индикаторе электронного блока.

По результатам опыта найдите период колебаний Т1, разделив время N колебаний на значение N: T = t\N.

Повторите опыт, уменьшив начальное отклонение в 1,5 - 2 раза, а затем уменьшите амплитуду еще во столько же раз. Если в пределах точности измерения периоды совпадут, для дальнейших измерений можно выбирать любое значение начального отклонения, меньшее φ1. Если этого не произошло, исследуйте по­ведение маятника при еще меньших углах.

Подумайте, что вносит основную ошибку в определение периода, и постарайтесь уменьшить эту погрешность.

2. Перемещая опорную призму вдоль стержня, исследуйте зависимость периода колебаний Т от d – расстояния между точкой опоры и центром масс. Постройте график функции T2d от d2.

3. Убедитесь в том, что график имеет прямолинейный вид. Найдите по этому графику величину g/4π2 и l2/12. Сравните найденное значение g с табличным и величину l2/12 с результатом непосредственных измерений.

4. Подберите длину математического маятника так, чтобы в пределах точности измерений периоды колебаний обоих маятников совпали. Измерьте длину математического маятника и сравните ее с приведенной длиной физического маятника, вычисленной по формуле (5).

5. Проверьте на опыте обратимость точки подвеса и центра качания физического маятника. Подумайте, при каких положениях опорной призмы эта проверка выполняется более точно.

6. Сформулируйте основные выводы на основе полученных результатов.

Контрольные вопросы

1. При каких упрощающих предположениях выведена формула (4)?

2. При каком расстоянии от центра масс до точки подвеса период колебаний маятника минимален?

3. Как будет вести себя физический маятник, если совместить точку его подвеса с центром масс?

4. Каково назначение второй нити у математического маятника?

5. Сформулируйте и докажите теорему Гюйгенса — Штейнера.

 

Л и т е р а т у р а

1. Детлаф А. А, Яворский Б. М. Курс физики. – М.: «Высшая школа», 2000, § 27.2

2. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. I. Механика.- М.: Наука, 1979, §§ 30, 33, 35, 36, 40, 41.

3. Стрелков С. П. Механика.- М.: Наука, 1975, §§ 52, 59, 124.

4. Савельев И. В. Курс общей физики. Т. 1. Механика. Молекулярная физика.- М.: Наука, 1982, §§ 38, 39, 54.

Лабораторная работа № I.3