Окружность и многоугольники
- около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°:
· в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон:
+
=
+
= 180°;
a + c = b + d;
- около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником;
- около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция — равнобедренная; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром к боковой стороне;
- в параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.
Пара́бола — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).
Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Она может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом.
Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:
(или
, если поменять местами оси).
Число p называется фокальным параметром, оно равно расстоянию от фокуса до директрисы[1]. Поскольку каждая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы, то и вершина — тоже, поэтому она лежит между фокусом и директрисой на расстоянии от обоих.
фокальный радиус
Квадратное уравнение при
также представляет собой параболу и графически изображается той же параболой, что и
, но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке
, координаты которой вычисляются по формулам:
где
— дискриминант.
Свойства:
- Парабола — кривая второго порядка.
- Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и вершину перпендикулярно директрисе.
- Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей.
- Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.
- Парабола является антиподерой прямой.
- Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.
- При вращении параболы вокруг оси симметрии получается эллиптический параболоид.
Уравнение параболы в полярной системе координат (рис.3.45,в) имеет вид
где — параметр параболы, а
— её эксцентриситет.
Однополостным и двуполостным гиперболоидом называется поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной системе координат каноническим уравнением
— положительные параметры, характеризующие гиперболоиды, причем
.
Начало координат называют центром гиперболоида. Точки пересечения гиперболоида с координатными осями называются его вершинами. Это четыре точки
однополостного гиперболоида и две точки
двуполостного гиперболоида.
Три отрезка координатных осей, соединяющих вершины гиперболоидов, называются осями гиперболоидов. Оси гиперболоидов, принадлежащие координатным осям , называются поперечными осями гиперболоидов, а ось, принадлежащая оси аппликат
, — продольной осью гиперболоидов. Числа
, равные половинам длин осей, называются полуосями гиперболоидов.
Однополостный и двуполостный гиперболоид можно представить, как поверхность, образованную эллипсами, вершины которых лежат на главных гиперболах.
Гиперболоид, у которого поперечные полуоси равны , называется гиперболоидом вращения. Такой гиперболоид является поверхностью вращения, а его сечения плоскостями
(для двуполостного гиперболоида при
) представляют собой окружности с центрами на оси аппликат. Однополостный или двуполостный гиперболоиды можно получить, вращая вокруг оси
гиперболу
Двуполостный гиперболоид обладает
· центральной симметрией относительно начала координат, осевой симметрией относительно всех координатных осей, плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей..
Свойство двуполостного гиперболоида вращения отражать лучи, направленные в один из фокусов, в другой фокус.