Эулидавы и унитарные пр-ва
Жарданавая нормальная форма матрицы
Опр: Няхай Р-поле, €P
клетка Жардана парадку n адпаведнай значэнню
(матрица 1 по диагонали остальные 0)
Опр:Клеткава дыяган. матрица на дыяг якой стаяць адвольныя Кл Жардана наз Жар матрицай
(матрица А1.А2..Аn – диагональ остальные 0)
Опр: Жар нормальной формой матр А наз адволья падобная её матр Жард
Сув: ранг клетки дыяг матрицы равен сумме рангов у яе дыяг клетках
Змена клетак на дыяганали=змене парадку базисных вектаров
Теор:Няхай А€Pn*k, I-норм Жард форма матрицы:
1) характ палином C(x) матрицы А раскладаееца в P на линейн множники
2)Дыяган эл-ты матр I-это все корни C(x) з уликам их кратности и тольки яны
3)кали -корань палинома C(x)кратности k, тогда In()-клетка Ж, и n<=k;
4)кол-во клеток Ж, адпаведных значению роунае n-rankB, где B=A-En
5)кол-во клеток Ж матр I,равно l=rankB^(2-1)-2rankB^2+rankB^(2+1)
Теор2:Для иснавання ЖНФ матр А неох и дост чтобы характ палином матр А раскладауся над основным полем на лин мн-ки ЖНФ з дакладнасцю да парядка клеток на диагонал
Білет 26.Квадратычныя формы.
Азн.Квадр.формай ад n зменных x1,x2,…,xn (1) над полем Р наз. Паліном выгляду Азн.Матрыца A=(ij)наз.матрыцай кв.формы(2).
Азн.Рангам квадр.формы наз.ранг яе матрыцы.
Азн.Квадр.форма F(x)ад n зменных(1)эквівалентна квадратычнай форме G(y)ад зменных (y1,…,yn),калі F(x)ператвараецца у G(y) у выніку дастасавання незвыроднага лін.пераўтв.змееных над асноўным полем.
Тэарэма.Квадр.ф.F(x)і G(y)ад n зменных над полем Р эквівал. т.і т.т.,калі іх матрыцы А і В звязаны роўнасцю: (GL(n,P)-поўная лін.група ступені n над P)
Эулидавы и унитарные пр-ва
Опр:Няхай В-лин пр-во над R и есть адлюстраванне V*V->R;(a;b)->ab; гэта адлюстраванне наз скалярным здабыткам, кали выконваецца наступныя умовы:1)a,b,c;;;;,
( a+ b)= (ac)+(bc) 2)ab=ba 3) a не 0 ->a*a>0
4)a(a+c)= (ab)+ (ac)
Опр:Ф-я которая отобр V*V. Для которой 1)4)-билинейная 1)2)4)-симметр ф-ей 3)и сим и билин
Теже св-ва что выше тока везде вектора
Опр:Ф-я которая отображ V*V->С для которой 1)4) -эрмитовая билинейная +2)симетр эрм бил 3)гиметричная эрм бил ф-я
Опр:Лин пор-во над R для которой вызначаны скалярный здабытак наз Эвклид про-во
Лиин прасторв над С, для которой вызначаны скалярны здабытак наз унитарнай прасторай
Прыкл:1 V3*V3->R ab=!a!*!b!cos V3-Эвкл пр
2 Rn *R->R 3 Cn *Cn->C
Теор: Адвольную канцамерную прастору можна пераутварыць у Эуклидаву унитарную прастору
Опр:Даужынёй Вектара а Эвкл пр-ры наз величина !а!=корень(а*а) для а не 0,и !а!=!!*!а!
Теор:(нероу трёхуг)Для адвольных вектароу а и b Эв унит пр-ры справедливо !a+b!!a!+!b!
Теор:(неровн Кашы-) :a,b з Эвк унит пр-ры !ab! !a!*b!
Опр:из !ab! !a!*b! => сущест угол между векторами
34.матрыца скалярнага здабытку.скалярны здабытак у артанармаваным базісе.
Няхай V-n-мерная Эуклідавая прастора і e1…en-(1)базіс V
Няхай U,ЄV, U= ,=
,
Тады вылічэнні скалярнага здабытку U=(1 e1+…n en)(1 e1+…+n en)= (2)
Азначэнне:Матрыца A=(ei ej)-матрыца n*n называецца матрыцай скалярнага здабытку у базісе (1).Абазначым X=(i),Y=(i),i=1;n-каардынатныя слупкі U i ,тады U= XT AY,A= AT => U= XT ATY значэнне білінейнай сіметрычнай формы з матрыцай A ад каардынатных вектарау U і у базісе (1).
Тэарэма:няхай V-n-мерная рэчаісная лінейная прастора,AЄ тады матрыца A-матрыца скалярнага здабытку у некаторым базісе т.і т.т,калі A-сіметрычная матрыца,усе вуглавыя міноры якой дадатныя, гэта значыць,што матрыца дадатна вызначаная квадратычная форма.
Тэарэма:Няхай A-матрыца скалярнага здабытку у базісе (1) Эуклідавай прасторы V,C-матрыца пераходу ад базісу (1) да V1…Vn (3),тады матрыца скалярнага здабытку у базісе (3) ёсць матрыца CTAT,гэта значыць, што матрыца скалярнага здабытку пры пераходзе да новага базісу змяняецца, як матрыца квадратычнай формы незвыродных пераутварэнняу зменых.
Доказ: U= XT AY.Калі X’ i Y’-каардынатныя слупкі у базісе (3),то X=CX’ ;Y=CY’ =>U= (CX’)T
ACY’= (X’)T (CT AC)Y’.
Азначэнне:Няхай AЄ Cn*n,A=(ij),матрыца A* =(ij)Є Cn*n,дзе ij= ij,называецца Эрмітавай транспанаванай да матрыцы A.
Уласцівасці:
1)калі A i BЄ Cn*n,тады (B+A)* = A*+B*.
2) (A)*=A*.
3)Калі A i B-такія матрыцы,што вызначаны здабытак AB,тады вызначаны здабытак B*A* ,прычым
(BA)* = B*A*.
Азначэнне:Матрыца AЄ Cn*n называецца эрмітавай,калі яна сама эрмітавая A=A*.
Няхай U,ЄV-вектары n-мернай унітарнай прасторы e1…en-базіс V (4).Вектары U i у базісе маюць каардынатныя слупкі X=(i),Y=(i).Тады скалярны здабытак U= =
AY,дзе A=(ei ej)=>A-эрмітавая матрыца.
Тэарэма:Няхай A-матрыца скалярнага здабытку унітарнай прасторы V,C-матрыца пераходу ад базісу (4) да базісу V1…Vn(5),тады матрыца скалярнага здабытку у (5)- C* AC.
Тэарэма:Няхай (1) базіс эуклідавай або унітарнай прасторы V.базіс (1)-артанармаваны,калі і толькі калі U,ЄV,
=(i);
=(i),скалярны здабытак U=
=
(для Эуклідавай)
U = =
(для унітарнай)
Доказ:
1) U= A
,дзе A-матрыца скалярнага здабытку у (1).
Базіс (1) артанармаваны,г.зн A=E=> U= .
2)Няхай U= Y
ei ei=1
ei ej=0.
Білет 36Артаганальны дадатак падпрасторы.
Азн.Няхай -эўкл.(уніт.)пр.Артаганальным дадаткам падпрасторы U наз.мн-ва
Тэарэма.Для адвольнай (канцамернай падпрасторы) артаганальны дадатак
.Калі dimV<,U0(вектор),тады
.
Азн. адназн.
.
U наз.артаганальнай праекцыяй вектару a на падпрастору U.